3.7. Теория малых деформаций. Тензоры бесконечно малых деформаций

Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей. Основной мерой деформации служит разность которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации.

Если все компоненты градиента перемещения малы по сравнению с единицей, то произведения в формуле (3.40) пренебрежимо малы и их можно опустить. В результате получим лагранжев тензор бесконечно малых деформаций, который имеет вид

Аналогично если то в (3.41) произведением можно пренебречь и мы придем к эйлерову тензору бесконечно малых деформаций, который по определению равен

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента и компоненты пространственного градиента почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то