9.7. Трехмерная теория
При создании трехмерной теории линейной вязкоупругости обычно принято рассматривать отдельно вязкоупругое поведение в условиях так называемого чистого сдвига и чистого расширения.
Таким образом, эффекты искажения формы и изменения величины объема изучаются независимо и затем их описания комбинируются, чтобы построить общую теорию. Математически это обеспечивается разложением тензоров напряжений и деформаций на их девиаторную и шаровую части, для каждой из которых затем пишутся определяющие соотношения вязкоупругости. Разложение тензора напряжений дано формулой (2.70)
а разложение тензора малых деформаций — формулой (3.98)
Принимая обозначения, использованные в этих равенствах, запишем в операторной форме трехмерное обобщение определяющих уравнений вязкоупругости (9.13):
и
и 
- дифференциальные операторы, определенные в соответствии с (9.14), а числовые множители введены для удобства. Так как практически все материалы упруго реагируют на умеренные гидростатические нагрузки, в качестве операторов 
связанных с расширением, обычно берут постоянные и преобразуют соотношения (9.47) к виду
где К — объемный модуль упругости.
Следуя тому же общему правилу разделения эффектов искажения формы и изменения величины объема, напишем трехмерные определяющие соотношения вязкоупругости в форме интегралов ползучести
и интегралов релаксации
Для того чтобы распространить на трехмерный случай описание вязкоупругого процесса при помощи комплексного модуля, требуется ввести комплексный объемный модуль К. Уравнения, раздельно написанные для чистого сдвига и для чистого расширения, таковы:
