1.6. Диады и диадики

Диадой называется неопределенное произведение двух векторов которое по определению Задается написанием векторов один за другим, например Неопределенное произведение в общем случае некоммутативно, Диадиком называется тензор второго ранга; он всегда может быть представлен в виде суммы конечного числа диад:

Однако это представление неединственно. В символических обозначениях тензоры второго ранга (диадики) изображаются заглавными жирными буквами, как это сделано выше.

Если в каждой диаде формулы (1.12) первый и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор называется сопряженным исходному и записывается так:

Если каждую диаду в сумме в формуле (1.12) заменить скалярным произведением соответствующих векторов, то получится скаляр,

называемый скаляром диадика записываемый в виде

Если каждую диаду в сумме в формуле (1.12) заменить векторным произведением составляющих ее векторов, то результат будет называться вектором диадика и записываться так:

Можно показать, что не зависят от выбора представления (1.12).

Неопределенное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности:

и если скаляры, то

Если любой вектор, то скалярные произведения тоже являются векторами, которые определяются соответственно формулами

Двадиаднка равны тогда и только тогда, когда для любого вектора

Единичный диадик I — это такой диадик, который представляется

где векторы любого ортонормированного базиса в трехмерном евклидовом пространстве (см. § 1.7). Единичный диадик I характеризуется следующим свойством:

для всех векторов

Векторные произведения и являются диадиками, которые определяются соответственно формулами

Скалярное произведение двух диад по определению есть диада вида

Пользуясь формулой (1.28), легко усмотреть, что скалярное произведение любых двух диадиков тоже является диадиком:

Диадики называются взаимно обратными, если

Для обратных диадиков часто используются обозначения

Дважды скалярное, смешанное и дважды векторное произведения диад по аналогии можно определить следующим образом:

Пользуясь этими формулами, легко получить дважды скалярное и векторное произведения тензоров второго ранга. Некоторые авторы двойное скалярное произведение диад определяют так:

Диадик называют самосопряженным или симметричным, если

и антисимметричным, если

Каждый диадик можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного диадиков, причем это представление единственно. Действительно, для любого диадика можно написать

где

и

Для того чтобы установить единственность такого разложения, предположим, что существует другое разложение тогда

Равенство, сопряженное этому, будет

Почленное сложение и вычитание (1.41) и (1.42) приводит соответственно к требуемым равенствам