7.3. Основные уравнения ньютоновой жидкости. Уравнения Навье — Стокса — Дюгема

При постановке задач о движении ньютоновой жидкости (или газа) основными уравнениями в эйлеровой форме будут следующие:

а) уравнение неразрывности (5.3)

б) уравнения движения (5.16)

в) уравнение энергии (5.32)

г) определяющие уравнения (7.9)

или

д) уравнение состояния (7.5)

Если учитываются тепловые эффекты, что очень часто бывает необходимо в задачах о движении жидкости, то требуются дополнительные уравнения, а именно:

е) закон теплопроводности Фурье (6.71)

ж) калорическое уравнение состояния

Система уравнений (7.15) — (7.21) содержит шестнадцать уравнений с шестнадцатью неизвестными и поэтому является замкнутой.

Если определяющие соотношения (7.18) подставить в уравнения движения (7.16) и воспользоваться определением то получатся так называемые уравнения движения Навье — Стокса — Дюгема:

или

Для несжимаемой жидкости уравнения (7.22) сводятся к уравнениям Навье-Стокса:

Если выполнено условие Стокса то для такой сжимаемой среды из (7.22) получаются уравнения Навье — Стокса в форме

или

Уравнения Навье — Стокса (7.23) вместе с уравнением неразрывности (7.15) образуют полную систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: давлением и тремя компонентами скорости В каждой конкретной задаче решение этой системы должно еще удовлетворять граничным и начальным условиям, наложенным на напряжения и компоненты скорости. В вязкой жидкости в качестве граничных условий на неподвижной непроницаемой

поверхности принимается требование обращения в нуль нормальной и касательной компонент скорости. Это условие вытекает из экспериментально установленного факта прилипания, в результате которого жидкость приобретает скорость границы. Для невязкой жидкости на неподвижной непроницаемой поверхности требуется обращение в нуль только нормальной компоненты скорости.

Если уравнения Навье — Стокса записаны в безразмерной форме, то появляются некоторые коэффициенты в виде комбинаций из характерных значений параметров. Одним из наиболее важных и чаще всего используемых таких коэффициентов является число Рейнольдса которое выражает соотношение между силами инерции и силами вязкости. Так, если поток имеет следующие характерные параметры: линейный размер скорость V и плотность то числом Рейнольдса является отношение

где называется кинематическим коэффициентом вязкости. Для очень больших значений числа Рейнольдса влиянием вязкости на напряжения в уравнениях количества движения можно пренебрегать. В турбулентном потоке кажущиеся (турбулентные) напряжения действуют в осредненном по времени потоке таким же образом, как вязкие напряжения в ламинарном потоке. При отсутствии турбулентности при больших силы инерции превосходят силы вязкости и жидкость ведет себя так, как будто она невязкая. Способность потока поддерживать турбулентные движения устанавливается по числу Рейнольдса. Определяющие уравнения (7.18) применяются для описания реальных жидкостей только в случае ламинарного течения.