2.6. Связь между тензором напряжений и вектором напряжения

Связь между тензором напряжений в точке и вектором напряжения на произвольно сриентированной площадке в той же точке можно установить из условия равновесия сил, или уравнения количества движения для элементарного материального тетраэдра с вершиной в точке Возьмем основание тетраэдра перпендикулярным к а три боковые грани перпендикулярными к осям координат, как показано на рис. 2.7. Пусть площадь основания тогда площади боковых граней как площади проекций основания на координатные плоскости будут равны для грани для грани и для грани или

Рис. 2.7.

На рисунке показаны векторы средних значений напряжений на боковых гранях и на основании, а также средней массовой силы (включая силы инерции, если они имеются), действующих на тетраэдр. Для равновесия тетраэдра под действием этих сил необходимо, чтобы выполнялось равенство

Если теперь линейные размеры тетраэдра будут пропорционально уменьшаться, то массовые силы, малость которых на порядок выше, будут стремиться к нулю быстрее поверхностных сил. В то же время векторы средних напряжений стремятся к характерным значениям, которые присущи указанным направлениям в точке Таким предельным переходом с учетом (2.9) равенство (2.10) приводится к виду

После сокращения на общий множитель и использования тождества соотношение (2.11) будет выглядеть так:

Соотношение (2.12) часто представляют в матричной записи

которую можно развернуть следующим образом:

Матричное равенство (2.14) эквивалентно уравнениям в компонентах