3.8. Относительное перемещение. Тензор линейного поворота. Вектор поворота
На рис. 3.3 перемещения двух соседних частиц изображены векторами и? и 
(см. также рис. 3.2). Вектор
называется вектором относительного перемещения частицы, расположенной первоначально в точке 
относительно частицы, занимавшей положение 
Предположим, что для поля перемещений выполнены условия непрерывности; тогда 
можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 
Пренебрегая в этом разложении членами более высокого порядка, для вектора относительного перемещения получаем
Рис. 3.3.
Здесь скобки у частных производных поставлены, чтобы подчеркнуть, что производные вычислены в точке 
Эти производные на самом деле являются компонентами материального градиента перемещения. Равенство (3.46) представляет лагранжеву форму вектора относительного перемещения.
Полезно также определить вектор относительного перемещения, приходящийся на единицу длины рассматриваемого отрезка, 
где 
модуль бесконечно малого вектора расстояния 
Согласно этому, если 
единичный вектор направления 
так что 
то
Так как материальный градиент перемещения 
можно единственным образом разложить на симметричную и антисимметричную части, то вектор относительного перемещения 
можно записать в виде
или
В первом члене в квадратных скобках формулы (3.48) можно узнать лагранжев тензор линейной деформации 
Второй член называется лагранжевым тензором линейного поворота и обозначается
Если тензор деформации 
тождественно равен нулю в окрестности точки 
то относительное перемещение окрестности этой точки будет бесконечно малым поворотом абсолютно твердого тела. Этот бесконечно малый поворот можно представить лагранжевым вектором линейного поворота
тогда соответствующее относительное перемещение запишется так:
Рассуждения, проведенные при лагранжевом описании вектора относительного перемещения, тензора линейного поворота и вектора линейного поворота, полностью можно повторить для эйлеровых аналогов тех же величин. Так, при эйлеровом подходе имеем для вектора относительного перемещения
а для вектора относительного перемещения, приходящегося на единицу длины,
Разложение эйлерова градиента перемещения 
дает
или
Первый член в квадратных скобках в (3.54) является эйлеровым тензором линейной деформации 
Второй член есть эйлеров тензор линейного поворота
Формула (3.55) определяет эйлеров вектор линейного поворота
тогда относительное перемещение выражается следующим образом:
