1.21. Тензорные поля. Дифференцирование тензоров

Тензорное поле ставит в соответствие каждой точке пространства и каждому моменту времени тензор где радиус-вектор меняется в заданной области пространства, в заданном интервале времени. Тензорное поле называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями Если компоненты тензора зависят только от то тензорное поле называется стационарным.

В ортогональной декартовой системе координат, где радиус-вектор любой точки имеет вид

поля тензоров различного ранга можно записать в индексных и символических обозначениях, например

б) векторное поле или

в) поле тензора второго ранга или

Дифференцирование компонент тензора по координате обозначается дифференциальным оператором или сокращенно в индексной записи что указывает на то, что это тензорный оператор первого ранга. В символических обозначениях для записи этой операции употребляется общеизвестный символ V (набла), который расшифровывается так:

Частное дифференцирование по переменной иногда изображают нижним индексом после запятой, как показано в следующих примерах:

Эти примеры показывают, что при дифференцировании оператор приводит к тензору на один порядок выше исходного, если остается свободным индексом (случаи «а» и «в»), и к тензору на один порядок ниже исходного, если становится индексом суммирования (случай

Здесь для справки приведены некоторые важные дифференциальные операторы, часто употребляемые в механике континуума: