2.5. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений

Принцип напряжения Коши ставит в соответствие в произвольной точке сплошной среды каждому единичному ве ктору нормали определяющему ориентацию бесконечно малого элемента поверхности, содержащего точку вектор напряжения (рис. 2.3). Совокупность всех возможных пар таких векторов в точке Р определяет напряженное состояние в этой точке.

Рис. 2.4.

К счастью, для того чтобы полностью описать напряженное состояние в данной точке, нет необходимости указывать все пары векторов напряжения и нормали. Это можно сделать, задавая векторы напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке

Для определения напряженного состояния в точке выберем плоскости, перпендикулярные осям координат, и будем обозначать векторы нормали и наьпяжения так, как это сделано на рис. 2.4.

Для удобства три отдельные схемы рис. 2.4 часто заменяют одним схематическим изображением, приведенным на рис. 2.5.

Каждый из трех векторов напряжения на площадках, параллельных координатным плоскостям, согласно (1.69), можно выразить через их декартовы компоненты:

Девять компонент векторов напряжений

являются компонентами декартова тензора второго ранга, так называемого тензора напряжений.

Рис. 2.5.

Рис. 2.6.

Этот тензор напряжений мы обозначим через так что развернутые (покомпонентное и матричное) его представления будут иметь следующий вид:

Напряжения, определяемые компонентами тензора напряжений в декартовой системе координат, и координатные плоскости изображены на рис. 2.6. Компоненты соответствующие перпендикулярным к указанным площадкам силами называются нормальными напряжениями. Компоненты действующие в касательных плоскостях, называются касательными напряжениями (или напряжениями сдвига). Компонента напряжения положительна, если на площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением одной из осей координат, сила действует вдоль положительного направления эгой оси. Компонента задает силу, действующую в направлении оси координат на площадку с внешней нормалью, параллельной оси координат. Все компоненты напряжений, изображенные рис. 2.6, положительны.