1.7. Системы координат. Базисные векторы. Триэдр единичных векторов

Относительно выбранной системы координат вектор можно задавать его компонентами в этой системе. Выбор системы координат произволен, но в некоторых ситуациях бывает выгоднее пользоваться специальной системой. Задать систему осей координат — это значит задать единицы измерения длин векторов и указать направления осей в пространстве, чтобы можно было определить ориентацию векторов.

Рис. 1.5.

Общеизвестную ортогональную декартову систему координат обычно представляют взаимно перпендикулярными осями, показанными на рис. 1.5. Любой вектор в такой системе можно задать в виде линейной комбинации трех произвольных некомпланарных векторов, которые называются базисными векторами. Через базисные векторы с и соответствующим образом выбранные скалярные коэффициенты вектор выражается так:

Базисные векторы по определению линейно независимы, т. е. уравнение

удовлетворяется только при Говорят, что совокупность базисных векторов для данной системы координат образует базис этой системы.

В ортогональной декартовой системе в качестве базиса обычно берут набор единичных векторов направленных вдоль осей координат, как показано на рис. 1.5. Эти базисные векторы образуют правый триэдр единичных, векторов, для которых

и

Рис. 1.6

Такой набор базисных векторов часто называют ортонормированным базисом.

Вектор изображенный на рис. 1.6 стрелкой, можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов

в которой декартовы компоненты

являются проекциями на оси координат. Согласно формуле (1.7), единичный вектор направления дается выражением

Вектор произволен, следовательно, для любого единичного вектора его направляющие косинусы являются его декартовыми компонентами.

В декартовых компонентах скалярное произведение векторов записывается в форме

Для тех же двух векторов векторное произведение имеет вид

Рис. 1.7. а — цилиндрическая система координат; б - сферическая система координат.

Последнее выражение часто записывают в виде определителя

с элементами которого оперируют, как с обычными числами.

Смешанное произведение векторов тоже можно представить через компоненты в виде определителя

Диада через декартовы компоненты выражается так:

Из-за того, что выражение (1.53) состоит из девяти членов, оно называется девятичленной формой диады Любой тензор второго ранга можно записать в девятичленной форме. Девятичленная форма единичного диадика представляется через единичные векторы следующим образом:

Кроме уже рассмотренной ортогональной декартовой системы, в дальнейшем широко используются системы криволинейных координат, такие, как цилиндрическая и сферическая изображенные на рис. 1.7. С этими системами связаны триэдры единичных базисных векторов показанные на рисунке. Однако в этих случаях базисные векторы не имеют постоянных направлений и поэтому, вообще говоря, являются функциями точки.