6.2. Изотропные и анизотропные среды. Симметрия упругих свойств

Если упругие свойства среды не зависят от выбора системы координат, использованной для их описания, то такую упругую среду называют изотропной. Среда, которая не является изотропной, называется анизотропной. Упругие свойства твердого тела, подчиняющегося закону Гука, выражены коэффициентами поэтому в общем случае анизотропное тело имеет следующую матрицу упругих констант:

Если существует функция энергии деформации, то и 36 констант матрицы (6.15) сводятся к 21.

Пусть в некоторой точке существует плоскость симметрии упругих свойств, т. е. упругие константы имеют одинаковые значения для любой пары систем координат, которые получены одна из другой отражением относительно указанной плоскости. Оси таких систем координат называются «направлениями эквивалентных упругих свойств». Если плоскость плоскость симметрии упругих свойств (короче — плоскость упругой симметрии), то константы инвариантны относительно преобразования координат

которое показано на рис. 6.1.

Это преобразование описывается матрицей

Подставляя компоненты матрицы (6.17) в формулы (2.27) и (3.78) преобразования тензоров напряжений и деформаций, находим, что матрица упругих констант для среды, обладающей симметрией относительно плоскости имеет вид

Рис. 6.1.

Если существует функция энергии деформации, то из 20 ненулевых членов этой матрицы независимы только 13.

Если среда обладает тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, то она называется ортотропной, а матрица упругих констант (в системе координат, в которой координатными плоскостями являются плоскости симметрии) имеет форму

Здесь независимых постоянных 12 (или 9, если

Говорят, что в некоторой точке существует ось симметрии упругих свойств порядка если существует набор направлений эквивалентных упругих свойств, которые могут быть совмещены поворотом около оси на угол Некоторые случаи осевой и плоской симметрии эквивалентны.