3.11. Тензоры коэффициентов длины. Тензор поворота

В тензорном исчислении существует так называемое полярное разложение произвольного неособого тензора второго ранга. Оно состоит в том, что такой тензор можно представить произведением симметричного положительного (с положительными главными компонентами) тензора второго ранга на тензор второго ранга с ортогональной матрицей Если такое представление применить к градиенту деформации то в результате получится

где ортогональный тензор поворота, положительные симметричные тензоры, которые называются правым и левым тензорами коэффициентов длины соответственно.

Интерпретацию (3.73) легко получить, воспользовавшись соотношением Подставляя сюда скалярные произведения, взятые из формулы (3.73), получаем

При помощи этих выражений превращение элемента (рис. 3.2) можно физически интерпретировать двояко. Согласно первой форме записи правой части (3.74), это преобразование состоит из растяжения и затем поворота с последующим переносом как твердого тела в точку При второй форме записи сначала происходит параллельный перенос как твердого тела в точку затем поворот и, наконец, растяжение Параллельный перенос не меняет, конечно, компонент вектора относительно декартовых осей