1.18. Симметрия диадиков, матриц и тензоров
Согласно определению (1.36) (или (1.37)), диадик 
называется симметричным (или антисимметричным), если он равен (или противоположен по знаку) сопряженному с ним диадику 
Подобно этому тензор второго ранга 
симметричен, если
и антисимметричен, или кососимметричен, если
Поэтому аналогично 
можно разложить на два слагаемых:
или (в сокращенной записи)
где индексами в круглых скобках обозначена симметричная часть 
а индексами в квадратных скобках — антисимметричная часть.
Изменение порядка индексов у тензора второго ранга эквивалентно перемене местами строк и столбцов в соответствующей ему матрице; следовательно, квадратная матрица 
симметрична, если она равна своей транспозиции 
Таким образом, симметричная матрица 
третьего порядка имеет только шесть независимых компонент и записывается в виде
Антисимметричная матрица равна своей транспозиции с обратным знаком. Поэтому антисимметричная матрица 38 третьего порядка имеет нули по главной диагонали и, следовательно, содержит только три независимые компоненты. Она выглядит так:
Свойства симметрии можно распространить на тензоры более высокого порядка (выше второго). В общем случае произвольный тензор называется симметричным относительно пары индексов, если значение каждой его компоненты не меняется при обмене местами этих индексов. Тензор антисимметричен по паре индексов, если замена их друг на друга ведет к изменению знака, но не абсолютной величины компоненты. Вот примеры свойств симметрии у тензоров более высокого ранга:
