1.12. Метрический тензор. Декартовы тензоры

Пусть представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор имеющий декартовы компоненты называется радиусом-вектором произвольной точки в декартовой системе. Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками и дается формулой

Из преобразования координат

получим связь межу их дифференциалами:

Тогда выражение (1.83) перейдет в следующее:

где тензор второго ранга называется метрическим или фундаментальным тензором пространства. Если

образуют тоже ортогональную декартову систему, скажем то

где дельта Кронекера (см. § 1.13), т. е. если если

Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат. Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются ортогональными, и если ограничиться только ортогональными преобразованиями, то тензоры, определенные таким образом, называются декартовыми тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом. Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантными компонентами, и поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами.