5.3. Теорема об изменении момента количества движения

Будем предполагать, что момент количества движения для сплошной среды равен моменту вектора количества движения относительно какой-либо точки. Так, для части континуума, изображенной на рис. 5.1, полный момент количества движения относительно начала координат по определению равен интегралу

где радиус-вектор элемента объема Теорема об изменении момента количества движения утверждает, что скорость изменения момента количества движения произвольно выбранной части континуума относительно любой точки равна главному моменту (относительно той же точки) массовых и поверхностных сил, действующих на рассматриваемую область среды (более общая формулировка этой теоремы дана в задаче 5.35). Для объема V сплошной среды можно написать уравнение момента количества движения в интегральной форме:

или

Уравнение (5.19) справедливо для таких сред, в которых силы взаимодействия частиц равны по величине, коллинеарны и противоположны по направлению, а распределенные моменты отсутствуют.

Уравнение момента количества движения не всегда представляет собой новое дифференциальное уравнение. Если в (5.19) подставить и предположить симметрию тензора напряжений, то уравнение будет удовлетворено тождественно при учете только

соотношения (5.16). Если же симметрия тензора напряжений не предполагается заранее, то она получается как прямое следствие уравнения (5.19), которое после подстановки оркпр сводится к виду

В силу произвольности объема V это ведет к равенствам

откуда видно, что