6.3. Изотропные среды. Упругие постоянные

Тела, у которых упругие свойства одинаковы по всем направлениям, обладают полной симметрией и называются изотропными. В этом случае любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Для изотропных сред число независимых упругих постоянных сводится к двум, и их матрица симметрична независимо от существования функции энергии деформации. Выбирая в качестве двух независимых констант известные постоянные Ламе и напишем матрицу (6.19) для изотропной упругой среды:

Закон Гука (6.2) для изотропного тела через коэффициенты записывается равенством

где Это соотношение нетрудно обратить и выразить деформации через напряжения:

где обозначение, по традиции используемое в теории упругости для первого инварианта тензора напряжений.

При простом одноосном растяжении в направлении оси можно ввести технические упругие модули которые служат коэффициентами в соотношениях Постоянная называется модулем Юнга, коэффициентом Пуассона. Через эти упругие постоянные закон Гука для изотропного тела записывается следующим образом:

или, в обращенной форме,

При изучении состояния равномерного гидростатического сжатия вводят модуль объемного сжатия

который связывает давление с величиной кубического расширения при нагрузке такого типа. В случае так называемого состояния чистого сдвига модуль сдвига связывает касательные компоненты напряжения и деформации. Коэффициент фактически равен ; легко установить его связь с другими модулями: