1.19. Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга

В дальнейшем будут рассматриваться только симметричные тензоры с действительными компонентами. Это несколько проще в математическом отношении, а так как тензоры, важные для механики

сплошной среды, обычно симметричны, то мы не многим жертвуем, принимая такое ограничение.

Для каждого симметричного тензора заданного в некоторой точке пространства, и для каждого направления в этой точке (характеризуемого единичным вектором существует вектор, определяемый внутренним произведением

Здесь можно рассматривать как линейный векторный оператор, который ставит в соответствие направлению вектор Если направление таково, что вектор параллелен то указанное внутреннее произведение выражается скаляром, умноженным на В этом случае

и направление называется главным направлением или главной осью тензора С помощью тождества соотношению (1.129) можно придать форму

которая представляет систему трех уравнений для четырех неизвестных и соответствующих каждому главному направлению. В развернутой записи система, которую следует разрешить, имеет вид

Заметим прежде всего, что при любом существует тривиальное решение однако нашей целью является получение нетривиального решения. Кроме того, вследствие однородности системы (1.131), не теряя общности, можно ограничиться только решениями, для которых Начиная с этого момента мы будем требовать, чтобы это условие выполнялось.

Для того чтобы система (1.130), или, что то же самое, система (1.131), имела нетривиальное решение, определитель из коэффициентов должен быть равен нулю, т. е.

В развернутом виде это кубическое уравнение относительно :

которое называется характеристическим уравнением тензора а его скалярные коэффициенты

называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами тензора Три корня кубического уравнения (1.133), обозначенные называются главными значениями тензора У симметричного тензора с действительными компонентами главные значения действительны; если все они различны, то три главных направления взаимно ортогональны. В главных осях таблица из компонент тензора приводится к диагональной форме:

Если то диагональный вид тензора не зависит от выбора осей, соответствующих и нужно установить только главную ось, соответствующую Если все главные значения равны, то любое направление является главным. Если главные значения упорядочены, то принято обозначать их через и располагать в порядке убывания:

Преобразование от системы к системе главных осей дается элементами таблицы

где направляющие косинусы главного направления.