1.4. Векторное сложение. Умножение вектора на скаляр

Сложение векторов подчиняется правилу параллелограмма, согласно которому сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, смежными сторонами которого являются слагаемые векторы, отложенные из одной точки. Этот закон сложения эквивалентен правилу треугольника, по которому суммой двух векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго, если суммируемые векторы построены таким образом, что начало второго совпадает с концом первого.

Рис. 1.2.

Графическое построение, соответствующее сложению векторов по правилу параллелограмма, показано на рис. 1.2, а. Алгебраически операция сложения выражается векторным равенством

Вычитание вектора выполняется путем прибавления отрицательного вектора, как сделано, например, на рис. 1.2, б, где использовано правило треугольника. Таким образом,

Рис. 1.2, в иллюстрирует свойство коммутативности и ассоциативности операций сложения и вычитания векторов в соответствии с равенствами

Умножение вектора на скаляр в общем случае дает новый вектор, имеющий то же направление, что и исходный, но другую длину. Исключение составляет умножение на нуль, которое дает в результате нулевой вектор, и умножение на единицу, которое не меняет вектора. При умножении вектора на скаляр в зависимости от численного значения возможен один из трех случаев, представленных на рис. 1.3.

Операция умножения вектора на скаляр ассоциативна и дистрибутивна, т. е.

Рис. 1.3.

Отметим еще, что в результате умножения вектора на величину, обратную его модулю, получается единичный вектор того же направления. Эта операция выражается равенством