4.7. Материальные производные по времени от интеграла по объему, интеграла по поверхности и линейного интеграла
Не все свойства континуума можно задать для индивидуальной частицы функцией ее координат так, как это сделано в (4.7) и (4.9); некоторые свойства определяются интегралами по конечной части континуума. Пусть, например, какое-либо скалярное, векторное
или тензорное свойство представлено интегралом по объему
где V — объем, который рассматриваемая часть сплошной среды занимает в момент 
Материальная производная от 
равна
а так как интегрирование идет по определенной части континуума (т. е. индивидуализированной системе масс), операции дифференцирования и интегрирования можно менять местами. Таким образом,
После выполнения дифференцирования с учетом (4.41) приходим к следующему равенству:
Оператор индивидуальной производной определен формулой (4.12) как 
Тогда равенству (4.52) можно придать вид
По теореме Гаусса-Остроградского (1.157) преобразуем второй член в правой части (4.53) в интеграл по поверхности; получим
Это соотношение утверждает, что скорость изменения некоторой величины 
в части сплошной среды, занимающей в данный момент объем V, равна сумме изменений этой величины во всех точках внутри V плюс поток величины 
через поверхность 
ограничивающую 
Процедура определения материальных производных от интеграла по поверхности и линейного интеграла в общем та же, что только что проделанная для интеграла по объему. Так, для любого тензорного свойства сплошной среды, которое выражается интегралом
по поверхности
где 
поверхность, занятая в момент 
рассматриваемой частью континуума, имеем, как и прежде,
Отсюда, учитывая (4.43), получаем правило дифференцирования интеграла по поверхности:
Для величин, выраженных линейным интегралом типа
материальная производная равна
Проводя указанное дифференцирование в правой части (4.59) и учитывая при этом (4.45), находим материальную производную линейного интеграла:
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
(см. скан)
