7.5. Идеальная жидкость. Уравнение Бернулли. Циркуляция

Если коэффициенты вязкости равны нулю, то жндкссть называется невязкой или идеальной (без трения) и уравнения Навье — Стокса — Дюгема (7.22) превращаются в уравнения

которые называются уравнениями движения Эйлера. Для баротропной жидкости при потенциальных массовых силах условия (7.29) и (7.30) можно ввести в уравнение (7.36), в результате чего получится

При установившемся движении (7.37) имеет следующую форму:

Если уравнения Эйлера (7.37) проинтегрировать вдоль линии тока, то получится известное уравнение Бернулли (см. задачу 7.17):

При установившемся движении и становится постоянной Бернулли С, которая, вообще говоря, различна для разных линий тока. Но если течение является к тому же и безвихревым, то постоянная С будет одной и той же во всем поле течения.

Когда из массовых сил действует только сила тяжести, то ее можно представить потенциалом где? — постоянное ускорение силы тяжести, высота, отсчитываемая от некоторого уровня. Величина характеризует так называемый напор давления, скоростной напор. Уравнение Бернулли требует постоянства полного напора вдоль линии тока. Для несжимаемой жидкости это уравнение записывается следующим образом:

По определению циркуляцией скорости по замкнутой жидкой линии называют линейный интеграл

По теореме Стокса (1.153) или (1.154) линейный интеграл (7.41) можно преобразовать в интеграл по поверхности:

где единичный вектор нормали к поверхности натянутой на данную линию. Если течение безвихревое, то и циркуляция равна нулю. В этом случае подинтегральное выражение в (7.41) оказывается полным дифференциалом некоторой функции а эта функция представляет собой потенциал скорости.

Материальную производную от циркуляции по времени можно найти, воспользовавшись формулой (4.60). В приложении к циркуляции (7.41) эта формула дает

Можно показать, что в баротропной невязкой жидкости при потенциальных массовых силах циркуляция постоянна. Это известная теорема Кельвина (Томсона) о постоянстве циркуляции.