4.6. Материальные производные по времени от элемента объема, элемента поверхности и линейного элемента

В результате движения из некоторого начального состояния в момент к рассматриваемому в момент состоянию частицы сплошной среды, которые вначале занимали элементарный объем займут элементарный объем Если начальный элемент объема взят в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 4.2), то, согласно (1.10),

При движении этот параллелепипед перемещается и искажается, но из-за непрерывности движения не разрушается. Действительно,

вследствие связи между материальными и пространственными линейными элементами, «жидкий отрезок», который раньше был теперь образует бесконечно малый линейный отрезок Аналогично переходит в превращается в Поэтому бесконечно малый элемент объема представляет собой скошенный параллелепипед с ребрами Величина его объема вычисляется как смешанное произведение

Очевидно, этот объем равен

где якобиан, определенный формулой (4.3).

Рис. 4.2.

Теперь, используя (4.38), можно получить материальную производную от по времени:

поскольку от времени не зависит, так что Можно показать (см. задачу 4.28), что материальная производная от якобиана равна

и, следовательно, (4.39) принимает вид

Бесконечно малый элемент поверхности, имеющий в начальном состоянии площадь можно задагь (вместе с его ориентацией) при помощи единичного вектора его нормали выражением При движении среды частицы, вначале составлявшие площадку в рассматриваемом состоянии заполняют элемент площади

или Можно показать, что

откуда находим материальную производную элемента площади:

Материальную производную от квадрата длины бесконечно малого линейного элемента можно вычислить аналогичным образом:

Но так как мы имеем

и тогда (4.44) примет вид

или

Выражение в правой части в индексной форме (4.46) симметрично по индексам следовательно, можно написать

либо, принимая во внимание (4.20),