1.5. Скалярное и векторное произведения векторов

Скалярным произведением двух векторов называется скаляр

где - наименьший угол между векторами, как показано на рис. 1.4, а. Скалярное произведение вектора а на единичный вектор дает проекцию а на направление

Рис. 1.4.

Векторным произведением а на называется вектор заданный формулой

где угол между векторами меньший чем единичный вектор, перпендикулярный к их плоскости и направленный так, что поворот по правилу правой руки вокруг на угол переводит а в Модуль равен площади параллелограмма со смежными сторонами затененного на рис. 1.4, б. Векторное произведение некоммутативно.

Смешанным произведением называется скалярное произведение двух векторов, один из которых сам является векторным произведением:

Из этой формулы видно, что скалярное и векторное умножение здесь можно менять местами. Так как векторное умножение должно выполняться первым, скобки не нужны и, как показано, их можно опустить. Это произведение иногда записывают как Величина смешанного произведения равна объему параллелепипеда с ребрами

Двойное векторное произведение — это векторное произведение двух векторов, один из которых сам является векторным произведением. Для представления векторного произведения а на с часто бывает полезно следующее тождество:

Из формулы (1.11) видно, что лежит в плоскости векторов