1.9. Индексные обозначения. Интервал изменения индексов и соглашение о суммировании

Компоненты тензора любого ранга и сам тензор можно наглядно и кратко представить с помощью индексных обозначений. Эти обозначения состоят в том, что к характерной, или основной, букве, представляющей интересующую нас тензорную величину, добавляются верхние или нижние буквенные индексы. Типичными примерами, иллюстрирующими употребление индексов, являются тензорные символы

По правилам индексных обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене один или два раза. Если индекс употреблен один раз, то подразумевается, что он принимает значения где заданное положительное целое число, которое определяет размерность индекса, т. е. интервал его изменения. Неповторяющиеся индексы называются свободными. Тензорный ранг данного члена равен числу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене.

Если индекс употреблен дважды, то подразумевается, что этот индекс гринимает все значения из своего интервала изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. В этом так называемом соглашении о суммировании повторяющиеся индексы часто называют немыми, так как их замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который они входят. Вообще говоря, в правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз. Если для желаемого представления какой-либо величины совершенно необходимо использовать некоторый индекс более чем дважды, соглашение о суммировании употреблять не следует.

По числу и расположению свободных индексов непосредственно можно судить о тензорном характере величины, выраженной в индексных обозначениях. Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются основными буквами с одним свободным индексом. Так, любой вектор а изображается символом с единственным верхним или нижним индексом, т. е. в одной из двух форм

В следующих выражениях, имеющих только одни свободный индекс, тоже можно узнать тензоры первого ранга:

Тензоры второго ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами. Так, произвольный тензор второго ранга будет записываться в одной из трех возможных форм

В смешанной форме точка указывает, что второй индекс. Тензорные величины второго ранга могут выглядеть по-разному, например

Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ним индекса, такой, как, например, изображает скаляр, или тензор нулевого ранга.

В обычном физическом пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов, и любой вектор в этом пространстве полностью задается своими тремя компонентами. Поэтому индексы у величин представляющих вектор а в физическом трехмерном пространстве, принимают значения 1, 2, 3. Согласно этому, подразумевают, что символ представляет сразу три компоненты Таким образом, иногда символ можно толковать как компоненту вектора, а в других случаях — как сам вектор. В трехмерном пространстве, где оба индекса меняются от 1 до 3, символ представляет девять компонент тензора второго ранга А. Часто тензор задают подробно, записывая все девять его компонент в виде квадратной таблицы, заключенной в большие скобки:

Таким же образом компоненты тензора первого ранга (вектора) в трехмерном пространстве можно наглядно изобразить упорядоченными строкой или столбцом из компонент в виде

В общем случае в -мерном пространстве тензор ранга будет иметь компонент.

Удобство индексных обозначений для записи систем равенств в компактной форме мы проиллюстрируем двумя следующими типичными примерами. В трехмерном пространстве уравнение в индексной записи

представляет в развернутой форме три уравнения:

Если принимают значения 1 и 2, то равенство в индексной записи

в развернутой форме дает четыре соотношения:

Если же то формула (1.66) даст девять соотношений, каждое из которых имеет девять членов в правой части.