3.9. Геометрический смысл тензоров линейных деформаций

В теории малых деформаций лагранжев тензор конечных деформаций в формуле (3.36) можно заменить лагранжевым тензором линейных деформаций и тогда эта формула примет вид

или

Для малых деформаций поэтому последнее равенство можно представить еще и так:

Левая часть (3.59) характеризует изменение длины бесконечно малого элемента, приходящееся на единицу первоначальной длины, и называется коэффициентом относительного удлинения линейного элемента, первоначально имевшего направляющие косинусы

Рис. 3.4.

Применим формулу (3.59) к бесконечно малому линейному элементу расположенному относительно местных осей в точке как показано на рис. 3.4, и получим коэффициент относительного удлинения этого элемента.

Так как в этом случае расположен вдоль оси

и поэтому в силу (3.59)

Итак, оказывается, что коэффициент относительного удлинения элемента, первоначально расположенного вдоль направления равен компоненте Точно так же для элементов, первоначально лежащих вдоль осей и 3, по формуле (3.59) коэффициенты относительных удлинений равны соответственно. Таким образом, диагональные члены тензора линейных деформаций вообще представляют собой коэффициенты относительного удлинения вдоль осей координат.

Физическая интерпретация недиагональных членов основывается на рассмотрении линейных элементов, которые первоначально лежат вдоль двух осей координат.

Рис. 3.5.

На рис. 3.5 линейные элементы взятые первоначально на осях после деформации превращаются соответственно в линейные элементы и в локальной системе координат с осями, параллельными исходным, и началом в точке Первоначально прямой угол между линейными элементами превращается в угол По формуле (3.46) в предположении теории малых деформаций в первом приближении единичный вектор, идущий из точки в точку равен

а единичный вектор, идущий из равен

Поэтому

или, пренебрегая членами более высокого порядка малости,

Кроме того, если рассмотреть изменение прямого угла между этими элементами и вспомнит, что в линейной теории мало, то можно написать

Следовательно, недиагональные члены тензора линейных деформаций представляют собой половины изменения углов между двумя первоначально ортогональными линейными элементами. Такие компоненты деформации называются деформациями сдвига, а из-за множителя 2 в (3.65) эти компоненты тензора деформаций равны половине обычных «технических» деформаций сдвига.

Рассуждения, в основном аналогичные тем, которые только что были проведены для выяснения смысла компонент могут быть проведены и для эйлерова тензора линейных деформаций Основное различие заключено в выборе линейных элементов, которые при эйлеровом подходе должны быть направлены вдоль осей координат после деформации. Диагональные члены являются коэффициентами относительного удлинения, а недиагональные — деформациями сдвига. Для таких деформаций, для которых верно предположение разницы между эйлеровым и лагранжевым подходами нет.