5.2. Теорема об изменении количества движения. Уравнения движения. Уравнения равновесия

На рис. 5.1 изображен движущийся объем сплошной среды V в момент На него действуют массовые силы с плотностью распределения На каждом бесконечно малом элементе поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем, действует вектор напряжения Во всей области, занятой средой, определено поле скоростей Общее количество движения системы масс, заполняющих объем V, определяется интегралом

Рис. 5.1.

Основываясь на втором законе Ньютона, теорема об изменении количества движения утверждает, что скорость изменения со

временем количества движения некоторой части континуума равна результирующей сил, действующих на рассматриваемую область. Если внутренние силы, действующие между частицами данного объема (рис. 5.1), подчиняются третьему закону Ньютона о действии и противодействии, то теорема об изменении количества движения для этой системы масс выражается уравнением

или

После подстановки в первый интеграл и преобразования ннтеграла по поверхности в интеграл по объему (согласно теореме Гаусса—Остроградского) это уравнение примет вид

или

Распишем материальную производную правой части (5.13) и воспользуемся уравнением неразрывности в форме (5.10). Это даст

Подстановка этого выражения в правую часть (5.13) и объединение членов приводят к интегральной форме теоремы об изменении количества движения:

или

Так как объем V произволен, само подинтегральное выражение (5.15) должно обращаться в нуль. Полученные таким образом уравнения

называются уравнениями движения.

Для важного случая равновесия, когда отсутствуют ускорения, из (5.16) сразу получаются уравнения

Они называются уравнениями равновесия и широко используются в механике твердого тела.