3.4. Лагранжево и эйлерово описания движения

Если в некотором объеме сплошной среды происходит деформация (или течение), то его частицы двигаются вдоль различных путей в пространстве. Это движение можно описать уравнениями вида

которые дают положение в текущий момент частицы, занимавшей в момент точку Таким образом, (3.14) можно толковать как установление соответствия между точками начальной конфигурации и их положением в текущем состоянии. Предполагается, что такое соответствие взаимно однозначно и непрерывно с непрерывными частными производными любого порядка, который потребуется. Такой способ описания движения или деформации, выраженный формулой (3.14), называется лагранжевым.

С другой стороны, если движение или деформация задаются уравнениями вида

в которых независимыми переменными являются координаты и время способ описания называется эйлеровым. Это описание можно рассматривать как такое, которое позволяет проследить к начальному положению частицу, которая теперь занимает положение Если (3.15) дает непрерывное взаимно однозначное соответствие с непрерывными частными производными, как было допущено для (3.14), то эти два соответствия представлены единственной парой взаимно обратных функций. Необходимым и достаточным условием существования обратной функции является отличие от нуля якобиана

Например, лагранжево описание движения уравнениями

имеет взаимно обратную эйлерову формулировку