6.7. Функция напряжений Эри

Если массовые силы отсутствуют или постоянны, то при решении плоских статических задач теории упругости (задач о плоской деформации или обобщенном плоском напряженном состоянии) часто пользуются функцией напряжений Эри (если массовые силы отличны от нуля, то их вклад в решение может быть учтен дополнительно при помощи принципа суперпозиции путем нахождения частных интегралов системы линейных дифференциальных уравнений).

Для плоских статических задач при отсутствии массовых сил уравнения равновесия сводятся к следующим:

Уравнения совместности, выраженные через компоненты напряжений (уравнения Бельтрами — Мичелла), дают

Из уравнений (6.53) видно, что компоненты напряжений можно представить частными производными функции напряжений Эри :

При этом уравнения равновесия (6.53) удовлетворяются тождественно, а условие совместности (6.54) превращается в бигармоническое уравнение

Функции, удовлетворяющие этому уравнению, называются бигармоническими. Пользуясь бигармопическими функциями с однозначными вторыми производными, можно строить многочисленные

решения плоских задач теории упругости, которые автоматически удовлетворяют и уравнениям равновесия, и условиям совместности. Конечно, эти решения нужно еще «подогнать» к заданным граничным условиям.