2.4. Принцип напряжения Коши. Вектор напряжения
На рис. 2.2 изображена область 
пространства, занятая материальным континуумом, на который действуют поверхностные силы 
и массовые силы 
Из-за того, что действие сил передается от одной части среды другой, материал внутри произвольного объема V, ограниченного поверхностью 
взаимодействует с материалом вне этого объема. Возьмем 
в качестве единичного вектора внешней нормали в точке 
к малой площадке 
поверхности 
и обозначим через 
результирующую силу, действующую через площадь 
на материал внутри V со стороны внешней среды. Ясно, что элементарная сила 
зависит от выбора 
и от 
Следует также заметь, что распределение силы на 
не обязательно однородно. В самом деле, в общем случае это распределение эквивалентно одной силе 
моменту, приложенным в точке 
и представленным на рис. 2.2 векторами 
и 
Средняя сила, отнесенная к единице площади площадки 
задается величиной 
Принцип напряжения Коши утверждает, что это отношение 
стремится к определенному пределу 
когда 
стягивается в точку 
в то время как момент силы 
относительно точки 
в пределе стремится к нулю. Результирующий вектор 
отнесенная к единице площади) называется вектором напряжения 
(рис. 2.3).
Рис. 2.2.
Рис. 2.3.
Если бы момент в точке 
при предельном переходе не обращался в нуль, то в этой точке был бы также определен вектор момента (пары) напряжений, изображенный на рис. 2.3 стрелкой с двойным острием. Один из разделов теории упругости изучает такие поверхностные пары, но в этой книге они не рассматриваются.
Вектор напряжения определяется следующим образом:
Обозначение 
используется для того, чтобы подчеркнуть тот факт, что вектор напряжения в данной точке 
сплошной среды, очевидно, зависит от ориентации выбранного элемента поверхности 
которая задается единичным вектором нормали 
Если взять любой иначе ориентированный элемент поверхности с другой единичной нормалью, то связанный с ним вектор напряжения в точке 
тоже будет другим. Вектор напряжения, выражающий действие через площадку 
в точке 
материала, расположенного внутри V, на внешнюю среду, есть вектор 
Тогда по закону Ньютона о равенстве действия и противодействия
Вектор напряжения иногда называют вектором натяжения.
