Глава 5. Основные законы механики сплошной среды

5.1. Сохранение массы. Уравнение неразрывности

Всякий материальный континуум обладает свойством, называемым массой. Суммарная масса некоторой части сплошной среды, занимающей в момент объем пространства V, выражается интегралом

где непрерывная функция координат, называемая плотностью. Закон сохранения массы утверждает, что масса выделенной части среды остается постоянной и, следовательно, материальная производная от (5.1) равна нулю. Если в формуле (4.52) положить то получим выражение для скорости изменения массы

Поскольку это равенство верно для произвольного объема V, подинтегральное выражение само должно обращаться в нуль, т. е.

Это уравнение называется уравнением неразрывности (или непрерывности). Раскрывая оператор материальной производной, его можно написать в другой равнозначной форме

В несжимаемой среде плотность массы каждой частицы не зависит от времени, т. е. и уравнение (5.3) принимает вид

Поле скорости в несжимаемой среде можно поэтому представить выражением

где функция называется векторным потенцисмом

Уравнение неразрывности можно записывать а лагранжевой, или материальной, форме. Для сохранения массы требуется, чтобы

выполнялось уравнение

Здесь оба интеграла взяты по одним и тем же частицам, т. е. V — это объем, который теперь занимает среда, заполнявшая в момент объем IV Используя (4.1) и (4.38), интеграл в правой части (5.7) можно преобразовать следующим образом:

Соотношение (5.8) должно иметь силу для произвольно выбранного объема и поэтому

Это означает, что произведение не зависит от времени, так как объем V произволен, т. е. что

Уравнение (5.10) является лагранжевой дифференциальной формой уравнения неразрывности.