5.7. Определяющие уравнения. Термомеханический и механический континуумы
В предыдущих параграфах этой главы было выведено несколько уравнений, которые должны выполняться для Ьсех процессов или движений, какие могут происходить в сплошной среде. Для термомеханической среды, где механические и тепловые явления взаимосвязаны, основными уравнениями будут следующие:
а) уравнение неразрывности (5.4)
б) уравнения движения (5.16)
в) уравнение энергии (5.32)
При предположении, что массовые силы 
и распределенные источники тепла 
заданы, уравнения (5.43), (5.44) и (5.45) составляют систему пяти независимых уравнений, содержащих четырнадцать неизвестных функций координат и времени. Неизвестными являются: плотность 
три компоненты скорости (или, что
равносильно, компоненты перемещения 
шесть независимых компонент напряжения 
три компоненты вектора потока тепла 
и плотность внутренней энергии 
. В дополнение к этому должно быть выполнено неравенство Клаузиуса — Дюгема (5.38)
предписывающее положительность производства энтропии. Оно добавляет еще две неизвестные — плотность энтропии 
и абсолютную температуру 
Значит, чтобы сделать систему замкнутой, нужно изыскать дополнительно еще одиннадцать уравнений. Шесть из них известны как определяющие уравнения, которые характеризуют частные физические свойства изучаемой среды. Из остальных пяти три будут соотношениями для задания закона теплопроводности, а два термодинамическими уравнениями состояния; например, калорическое уравнение состояния и уравнение для энтропии. Характерная формулировка задачи для термомеханического континуума будет дана в следующей главе.
Следует отметить, что назначение определяющих уравнений состоит в том, чтобы установить математические соотношения между статическими, кинематическими и термодинамическими параметрами, описывающими поведение материала при наличии механических и термодинамических воздействий. Так как реальные среды реагируют на различные нагрузки крайне сложным образом, определяющие уравнения не пытаются отразить все наблюдаемые явления, связанные с конкретным материалом, а скорее служат для того, чтобы ввести некоторые идеализированные среды, такие, например, как идеально упругое тело или идеальная жидкость. Такие идеализации, или, как они иногда называются, модели сред, очень полезны тем, что они разумно отражают поведение реальных сред в определенном интервале нагрузок и температур.
Во многих ситуациях взаимодействием механических и термодинамических процессов можно пренебречь; исследованием такого типа является, например, теория несвязанной термоупругости. В этом случае чисто механические процессы описываются уравнениями (5.43) и (5.44). Система уравнений, образованная (5.43) и (5.44), состоит из четырех уравнений с десятью неизвестными. Нужны еще шесть определяющих уравнений, чтобы сделать систему замкнутой. В несвязанной теории, где не учитывается взаимодействие механических и тепловых процессов, определяющие уравнения содержат только динамические (напряжения) и кинематические (скорости, перемещения, деформации) параметры и часто представляют собой соотношения между напряжениями и деформациями. Кроме того, в такой теории поле температур обычно считается известным или, быть может, задача теплопроводности решается отдельно и
независимо от механической задачи. При изотермических процессах температура предполагается постоянной и задача является чисто механической.
ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ
(см. скан)
