11.6. Устойчивость

Во временной области цифровой фильтр устойчив, если его импульсная характеристика удовлетворяет условию (11.18). Теперь определим условия устойчивости цифровых фильтров в -области.

Для этого рассмотрим общую передаточную функцию, заданную выражением (11.40), которое для удобства приведено еще раз:

Любой фильтр с передаточными функциями вида (11.163) при называется цифровым фильтром с бесконечной импульсной характеристикой поскольку не существует конечного целого числа такого, что

где — импульсная характеристика фильтра. Для цифровых фильтров положим, что

Это предположение верно почти для всех практических случаев. Разложение уравнения (11.163) на простые дроби дает

где

Следовательно, импульсная характеристика, соответствующая выражению (11.163), определяется следующим соотношением:

Ясно, что необходимые и достаточные условия того, что импульсная характеристика, заданная выражением (11.167), удовлетворяет критерию устойчивости

имеют вид .

Это означает, что все полюсы цифрового фильтра расположены внутри единичного круга в z-плоскости.

Рис. 11.15. Устойчивая цифровая схема к примеру 11.20.

Пример 11.20. Показать, что схема, приведенная на рис. 11.15, устойчива. Решение. Разностное уравнение, описывающее эту схему, равно

Передаточную функцию схемы можно получить, применив -преобразование к соотношению (11.170):

Следовательно, полюсы фильтра расположены в точках

Таким образом, функцию можно переписать в виде

Поскольку

схема на рис. 11.15 устойчива

Если передаточная функция цифрового фильтра представлена в виде

что эквивалентно случаю в выражении (11.163), то цифровой фильтр называют фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ). Это обозначение используют вследствие того, что импульсная характеристика, соответствующая уравнению (11.175), удовлетворяет следующему условию:

Таким образом, соответствующая импульсная характеристика имеет конечную протяженность. В этом случае отсутствуют полюсы, и поэтому этот тип фильтра всегда устойчив.