12.1.2. Метод инвариантности импульсной характеристики

Процедура перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам называется методом инвариантности импульсной характеристики.

Рис. 12.9. Процедура расчета по методу инвариантности импульсной характеристики. (см. скан)

Эта процедура устанавливает, что импульсная характеристика результирующего цифрового фильтра представляет собой выборки импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра и определяется следующим образом:

где Т — интервал дискретизации. Процедура проектирования по этому методу показана на рис. 12.9.

Для иллюстрации метода инвариантности импульсной характеристики

разложим передаточную функцию исходного аналогового фильтра на простые дроби

где полагаем, что а все полюсы различны. Кроме того, для каждого представляет собой полюс аналогового фильтра, а — вычет функции в полюсе Импульсную характеристику аналогового фильтра можно получить, осуществив обратное преобразование Лапласа уравнения (12.29), которое дает

где представляет собой единичную ступенчатую последовательность. Подставив выражение (12.30) в формулу (12.28), получаем импульсную характеристику соответствующего цифрового фильтра

где единичная ступенчатая последовательность. Передаточная функция результирующего цифрового фильтра определяется путем нахождения -преобразования импульсной характеристики, заданной выражением (12.31), следующим образом:

Сравнивая выражения (12.29) и (12.32), получаем соотношение перехода от аналоговых фильтров к цифровым фильтрам для метода инвариантности импульсной характеристики, которое имеет вид

— полюс цифрового фильтра, соответствующий полюсу аналогового фильтра

Пример 12.2. Исходный аналоговый фильтр обладает следующей передаточной функцией:

Найти — передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.

Решение. Запишем функцию в виде простых дробей

Из уравнений (12.33) следует, что имеет вид

где Т — интервал дискретизации. Упрощая выражение (12.36 а), получаем

Пример 12.3. Нормированный фильтр Чебышева нижних частот второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3 дБ имеет передаточную функцию вида

Найти — передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра с помощью метода инвариантности импульсной характеристики.

Решение. Записывая функцию в виде сомножителей, получаем

Применение уравнений (12.33) к полученному соотношению дает

Для с из уравнения (12.39) следует, что

а для с

Рис. 12.10. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Чебышева второго порядка с неравномерностью 3 дБ. аналоговый фильтр, - цифровой фильтр, цифровой фильтр

Амплитудно-частотные характеристики функций, заданных выражениями (12 40) и (12.41), приведены на рис. 12 10

Напомним, что периодическая функция переменной 0 с периодом — непериодическая Основное различие в свойствах аналоговых и цифровых фильтров состоит в том, что амплитудно-частотные характеристики результирующего цифрового фильтра будут отклоняться от характеристик исходного аналогового фильтра в тех участках, где характеристическая кривая достигает точек или — интервал дискретизации. Если интервал дискретизации достаточно мал, то отклонение начнется в точке, близкой к . В противном случае отклонение начнется значительно раньше. Подходящий случай показан на рис. 12.10. Следует отметить, что частоты среза цифровых фильтров расположены в точках

где использована информация о частоте среза аналогового фильтра Эти частоты среза повторяются согласно следующему соотношению:

Поскольку импульсная характеристика цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики, является фактически дискретизированным аналогом импульсной характеристики аналогового фильтра частотная характеристика цифрового фильтра представляет собой наложенный вариант частотной характеристики аналогового фильтра, как установлено в соотношении (11.115), и для удобства приводится здесь еще раз:

Если скорость дискретизации достаточно высока, то эффект наложения минимален. На рис. 12.10 для с показано, что эффект наложения, который проявляется в виде отклонения частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров, при трудно различим. Однако при недостаточно высокой скорости дискретизации, например для случая (рис. 12.10), начинает оказывать влияние эффект наложения, так как видно, что заметно отличается от Подставляя в уравнения (12.43), получаем

Следует отметить, что уравнения (12.44) устанавливают соотношение между передаточными функциями цифрового и соответствующего аналогового фильтра для случая инвариантности их импульсных характеристик.

Для исследования характеристик при методе инвариантности импульсной характеристики на соответствие двум необходимым

условиям процедуры перехода (12.10) рассмотрим соотношение

и, следовательно,

Из рис. 12.11 следует, что горизонтальная полоса с шириной в s-плоскости отображается во всю -плоскость, т. е. левая и правая половины этой полосы отображаются соответственно в части -плоскости внутри и вне единичной окружности, а мнимая ось — в единичную окружность. Из рис. 12.11 можно установить, что источник эффекта наложения вызывается тем, что переход (12.45) не однозначен. Например, точки отображаются в одну точку Фактически соотношения (12.45) устанавливают, что аналоговая передаточная функция в каждой полосе шириной накладывается на всю -плоскость для формирования цифровой передаточной функции. Таким образом, метод инвариантности импульсной характеристики не является простым линейным или подобным отображением из s-плоскости в -плоскость. Из-за эффекта наложения метод инвариантности импульсной характеристики применим только для фильтров с существенно ограниченной аналоговой частотной характеристикой, которая удовлетворяет условию

т. е. в случаях фильтров нижних частот и полосовых.

Как было показано, процедура перехода на основе метода инвариантности импульсной характеристики задается уравнениями (12.33), которые устанавливают, что расположение полюсов аналогового фильтра отображается в следующее размещение:

Таким образом, соотношения (12.45) устанавливают связь между размещениями полюсов аналогового и цифрового фильтров. Однако абсолютно неверно утверждение, что соотношения

(кликните для просмотра скана)

Рис. 12.12. Диаграммы полюсов и нулей фильтра Лернера второго порядка: а — вариант аналогового фильтра, б — вариант цифрового фильтра, полученного на основе метода инвариантности импульсной характеристики.

(12.45) определяют связь между расположениями нулей цифрового и аналогового фильтров при инвариантности импульсных характеристик. Подходящим примером является следящий.

Пример 12.4. Задана передаточная функция аналогового фильтра

где Найти расположение нулей и полюсов цифрового фильтра, полученного на основе инвариантности импульсной характеристики. Решение. Разложение функции на простые дроби дает

Передаточная функция соответствующего цифрового фильтра задается согласно (12.33) в виде

Из уравнения (12.50) местоположение конечного нуля цифрового фильтра определяется как

где — расположение нуля аналогового фильтра. Однако полюсы цифрового фильтра расположены следующим образом:

где расположение полюсов аналогового фильтра. Диаграмма размещения полюсов и нулей аналогового и соответствующего ему цифрового фильтров приведена на рис. 12.12.

Как было установлено, уравнения (12.33) применимы как к вещественным, так и к комплексным полюсам Однако для комплексного полюса более удобно рассматривать вместе пару полюсов где черта над переменной используется Для обозначения комплексно-сопряженной величины. Применяя соответственно уравнения (12.33), получим пары преобразований для следующих двух случаев второго порядка:

1. Если передаточная функция аналогового фильтра задана в виде

где полюсы расположены в точках

то передаточная функция соответствующего цифрового фильтра имеет вид

2. Если функция задана в виде

то из процедуры перехода (12.33) следует, что

Пример 12.5. Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот третьего порядка характеризуется следующей передаточной функцией:

Найти передаточную функцию соответствующего цифрового фильтра Баттерворта третьего порядка с помощью метода инвариантности импульсной характеристики,

Решение. Функцию можно записать в виде

Из уравнений (12.33), (12.53)-(12.56) требуемый цифровой фильтр имеет следующую передаточную функцию:

Пример 12.6. Предположим, что цифр свой фильтр нижних частот должен удовлетворять следующим условиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет рад.

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания не более 0,1 дБ для рад.

в) Затухание в полосе задерживания больше 30 дБ для рад.

г) Амплитудно-частотная характеристика имеет монотонно спадающий вид для

д) Интервал дискретизации

Найти передаточную функцию требуемого цифрового фильтра.

Решение. На первом этапе необходимо перевести эти цифровые критерии в аналоговые. Это можно осуществить, учитывая, что, если Т удовлетворяет критерию Найквиста, уравнения (12 43) приближенно приводятся к виду

и, следовательно,

Согласно соотношению (12.606), искомый аналоговый фильтр должен удовлетворять следующим требованиям:

а) Частота среза по уровню 3 дБ составляет

б) Неравномерность амплитудно-частотной характеристики в полосе пропускания лежит в пределах 0,1 дБ для

в) Затухание в полосе задерживания более 30 дБ для

г) Монотонно спадающий вид амплитудно-частотной характеристики требуется для .

Из критерия г) следует, что необходим фильтр Баттерворта. Следовательно, квадрат амплитудно-частотной характеристики должен иметь вид

Этот фильтр Баттерворта должен удовлетворять следующим двум условиям:

а условие (12.63 а) устанавливает, что

а условие (12.636) требует, чтобы

Следовательно, минимальный порядок фильтра Баттерворта, который удовлетворяет предъявленным требованиям, равен . Для расположение полюсов аналогового фильтра Баттерворта с единичной шириной полосы или частотой среза рад/с можно определить из уравнений (8 34) и (8 35) как

Это означает, что передаточная функция нормированного фильтра Баттерворта четвертого порядка задается в виде

Следовательно, передаточная функция требуемого аналогового фильтра, который удовлетворяет критериям определяется следующим соотношением:

или

где полюсы расположены в точках

Приводя соотношение (12 68) к виду уравнений (12.53) и (12.55), получаем

Из уравнений передаточная функция требуемого цифрового фильтра, которая удовлетворяет всем требованиям имеет вид

Следует отметить, что частота среза аналогового фильтра нижних частот составляет Это означает, что аналоговый фильтр эффективно ограничивает около частот (рис. 12.13, а).

Рис. 12.13. Амплитудно-частотные характеристики фильтра Баттерворта нижних частот четвертого порядка. а — аналоговый фильтр, заданный уравнением (12.69), б — цифровой фильтр, заданны 1 уравнением (12.70).

Поскольку скорость дискретизации 200 крад/с превышает скорость Найквиста, не ожидается проявления эффекта наложения. Следовательно, имеем

Для Из уравнений (12.71) следует, что амплитудно-частотная характеристика цифрового фильтра подобна характеристике соответствующего аналогового фильтра (рис.

Следует отметить, что усиление цифрового фильтра на точно равно в то время как усиление аналогового фильтра на составляет 1. Для исключения влияния этого высокого усиления на конечном этапе расчета полагается, что передаточная функция цифрового фильтра определяется следуюшим

образом:

Заметим, что усиление функции на постоянном токе нормировано к единице.