11.4. Дискретное преобразование Фурье

В двух предыдущих разделах были рассмотрены два представления последовательностей, а именно -преобразование и преобразование Фурье. В тех случаях, когда последовательность периодична либо имеет конечную длительность, можно получить еще одно представление, которое носит название дискретное преобразование Фурье . В гл. 12 показано, что ДПФ является одним из методов расчета цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой.

Итак, рассмотрим периодическую последовательность с периодом Тогда

где — любое целое число. В общем случае последовательность не допускает ее представления в виде -преобразования, поскольку отсутствует конечное значение при котором

будет сходиться. В результате этого последовательность не будет обладать также и представлением в виде преобразования Фурье. Однако, поскольку последовательность

периодична, она имеет представление в виде дискретного ряда Фурье

где — коэффициенты ряда Фурье. Заметим, что для любого целого числа имеем

Это означает, что запись вида (11.127) содержит избыточную информацию. Из выражения (11.128) следует, что имеется только различных комплексных экспоненциальных частот в уравнении (11.127), а именно

Следовательно, равенство (11.127) можно переписать в виде

где нормирующий множитель.

Умножая уравнение (11.130) на и суммируя по за один период, получаем

где использовано следующее соотношение:

Из равенства (11.131 а) коэффициенты ряда Фурье в выражении (11.130) определяются как

Необходимо отметить, что уравнения (11.132) и (11.130) аналогичны по форме. Следовательно, можно сделать вывод, что последовательность периодична с периодом Представление в виде дискретного ряда Фурье задается выражением (11.132), где коэффициенты ряда Фурье. Равенство (11.132) называется дискретным преобразованием Фурье последовательности а равенство (11.130) — обратным дискретным преобразованием Фурье последовательности

Пример 11.15. Имеется периодическая последовательность вида

где — целое число. Определить ДПФ последовательности

Решение. Из уравнения (11.132) следует, что

Обратим внимание, что действительно периодична С периодом поскольку

Заметим, что в обоих уравнениях (11.130) и и периодической последовательности можно определить только за один период. Рассмотрим последовательность ограниченной длительности заданную следующим выражением:

Таким образом, здесь представляет собой один период последовательности . В этом случае существует - z-пpeобразование последовательности и

Сравнение выражений (11.136) и (11.132) показывает, что соотношение между z-преобразованием - первого периода последовательности и ее ДПФ имеет вид

С другой стороны, ДПФ последовательности представляет -точечную дискретную последовательность, полученную из преобразования Фурье функции при постоянном интервале переменной для поскольку соотношение (11.137) можно переписать как

Пример 11.16. Имеется ограниченная последовательность вида

Определить ДПФ периодической последовательности такой, что

Решение. -Преобразование и преобразование Фурье последовательности имеют вид

Из уравнения последовательности определяется следующим образом:

Пример 11.17. Найти ДПФ периодической последовательности где для .

Решение. Определим ограниченную последовательность следующим образом:

Используя результаты примера 11.16 для получаем

При и 3 выражение (11.146) дает

Из уравнений (11.137) и (11.138) определим ограниченной последовательности длительности где

следующим образом:

Соответственно заданное выражением (11.149), имеет вид

Заметим, что выражения (11.149) и (11.150) представляют собой усеченные аналоги соответственно соотношений (11.137) и (11.138). Следовательно, можно показать, что ДПФ ограниченной последовательности однозначно, и, таким образом, ОДПФ является ограниченной последовательностью. Кроме того, операции, определяемые уравнениями (11.149) и (11.150), являются взаимообратными. Учитывая условия (11.137) и

(11.138), из соотношения (11.149) получаем

Пример 11.18. Найти следующей последовательности при :

Решение. Из выражений (11.141) и (11.151) получаем

При уравнение (11.153) дает

Соотношение (11.151) можно использовать для определения ДПФ по заданному z-преобразованию ограниченной последовательности. При расчете фильтров в большинстве случаев конечной импульсной характеристики с длительностью отсчетов в некотором смысле задается как исходное требование, и основная задача состоит в нахождении передаточной функции такой, что удовлетворяет условию (11.151), т. е. представляет собой последовательность, полученную из частотной характеристики требуемого фильтра. С этой целью подставим соотношение (11.150) в -преобразование последовательности

Таким образом, задавая набор из точек требуемой частотной характеристики, которые равномерно расположены

на единичной окружности в z-плоскости, из уравнения (11.155) можно определить необходимую передаточную функцию цифрового фильтра. Эта процедура называется методом частотной выборки. Соотношение между частотной характеристикой и ДПФ ограниченной последовательности определяется при оценке на единичной окружности в -плоскости следующим образом:

Взаимосвязь между -преобразованием частотной характеристикой импульсной характеристики с конечной длительностью устанавливают соотношения (11.151), (11.155) и (11.156). В дальнейшем будет показано, что соотношения (11.155) и (11.156) играют ключевую роль в разработке метода частотной выборки для расчета и реализации цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой в разд. 12.2 и 13.2.