13. Реализация цифровых фильтров

После того как получена передаточная функция, удовлетворяющая требованиям обработки сигнала, возникает проблема исполнения или реализации этой заданной передаточной функции. Настоящая глава и посвящена задаче реализации цифровых передаточных функций.

В разд. 11.5 рассмотрены стандартные элементы, на которых реализуются цифровые фильтры, а именно элементы задержки, сумматоры и перемножители. По существу так же легко обрабатывать отрицательные числа, как и положительные, следовательно, коэффициенты в передаточной функции не ограничены только положительными величинами. Из рассмотренных в гл. 12 примеров следует, что некоторые коэффициенты цифровых передаточных функций действительно имеют отрицательные значения.

Поскольку передаточные функции цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров). и цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтров) различны, ради четкости изложения методы их реализации будут рассмотрены независимо, хотя основные принципы построения одинаковы.

13.1. Реализация цифровых БИХ-фильтров

Передаточная функция цифрового БИХ-фильтра определяется следующим образом:

Существуют два метода реализации уравнения (13.1): прямой и косвенный. При прямом методе передаточная функция заданная уравнением (13.1), реализуется целиком, а при косвенном методе раскладывается на ряд звеньев первого и второго порядков. Тогда реализация уравнения (13.1) завершается реализацией всех соответствующих звеньев первого и второго порядков и соединением их между собой определенным образом. Что

же касается ошибок квантования, то было показано, что косвенный метод дает лучшие результаты по сравнению с прямым методом.

13.1.1. Прямая реализация

Существует несколько способов реализации цифровых передаточных функций прямым методом. Хорошо известными принципами реализации являются: прямые формы, лестничные и мостовые структуры, методы исключения перемножителей и модульные формы волновых цифровых фильтров. Прямые формы представляют собой приемы реализации, которые различными способами формируют разностные уравнения фильтров, когда постоянные умножения являются коэффициентами передаточных функций. Для передаточных функций низких порядков прямые формы очень конкурентоспособны по эксплуатационным характеристикам и стоимости. Лестничным и мостовым формам [6—8] свойственна низкая чувствительность структуры. Для вычисления постоянных умножения используется ряд арифметических операций. Это вызывает некоторое ухудшение характеристик результирующих цифровых фильтров. Метод исключения перемножителей [9] обладает определенным преимуществом, поскольку результирующие цифровые фильтры будут всегда содержать минимальное число перемножителей, этим свойством обладают также и некоторые другие способы реализации. Модульные формы реализации волновых цифровых фильтров [10, 11] часто используют путь преобразования пассивной RLC-схемы непосредственно в схему цифрового фильтра на основе дискретных представлений аналоговых элементов схемы. Простое исследование показывает, что волновые и регулярные цифровые фильтры требуют приблизительно одинакового объема цифровых аппаратурных средств для обеспечения тех же самых требований фильтрации.

Цифровую передаточную функцию можно реализовать многими способами, включая и методы, приведенные в предыдущем разделе. Была предпринята попытка [12—14] классифицировать структуры и методы, которые обеспечивают лучшие цифровые схемы с точки зрения стоимости (аппаратурные требования и разрядность представления слов) и рабочих характеристик (окончательные чувствительности и результирующие частотные

характеристики). Поскольку еще не найден наиболее общий и лучший способ, то выбор метода зависит от решаемой задачи.

В этом подразделе упор сделан на рассмотрение прямых и лестничных форм реализации цифровых фильтров. Реализация на основе прямых форм наиболее популярна, поскольку она хорошо подходит для исполнения передаточных функций низких порядков, в то время как лестничные формы обладают наиболее привлекательным свойством, а именно низкой чувствительностью структуры. Оба способа приводят к структурам цифровых фильтров с минимальным числом перемножителей.

13.1.1.1. Прямые формы.

Напомним, что передаточная функция, заданная соотношением (13.1), определяет разностное уравнение, которое связывает входную и выходную последовательности следующим образом:

Следовательно, можно получить реализацию передаточной функции (13.1) путем вычисления уравнения (13.2). На рис. 13.1, а приведено исполнение уравнения (13.2) в виде цифровой схемы. Эта конфигурация называется реализацией передаточной функции (13.1) на основе прямой формы 1. Из рис. 13.1, а следует, что на каждый сумматор поступают два сигнала. Упрощенная структурная схема прямой формы I показана на рис. 13.1, б, где на некоторые сумматоры поступает более двух сигналов.

Если функция определяется следующим соотношением:

то, используя уравнение (13.1), можно получить

Из соотношений (13.3) следует, что можно получить передаточную функцию (13.1) путем реализации двух более простых передаточных функций, заданных соотношениями (13.3 а) и (13.3 б). Такое исполнение приведено на рис. 13.2, а. Более простое изображение показано на рис. 13.2, б. Рис. 13.2 иллюстрирует реализацию уравнения (13.1) на основе прямой формы II. Следует отметить, что реализация на основе прямой формы II требует

(кликните для просмотра скана)

Рис. 13.2. Реализация на основе прямой формы II.

только элементов задержки. Это наименьшее число элементов задержки, необходимое для реализации цифрового фильтра -порядка, так как это порядок, определяемый уравнением (13.1). Обе прямые формы требуют перемножителей, т. е. минимального числа перемножителей, необходимых для реализации функции (13.1).

Из теории сигнальных графов следует, что и транспонированная цифровая схема, и исходная цифровая схема обладают идентичными передаточными функциями. Характерно, что транспонированная цифровая схема получается путем замены направления прохождения сигнала в каждой ветви на обратное и путем перемены местами входного и выходного зажимов. Например, транспонированные схемы прямых форм I и II (рис. 13.1, б и рис. 13.2, б) показаны соответственно на рис. 13.3, а и б. Можно

Рис. 13.3. Транспонированные прямые формы. а — транспонированная прямая форма I; б — транспонированная прямая форма 11.

показать, что передаточные функции структур, показанных на рис. 13.3, а и б, задаются уравнением (13.1).

Пример 13.1. Реализовать следующую передаточную функцию:

Решение. Устанавливая тождество соответствующих членов в уравнениях (13.4) и (13.1), получаем

На рис. 13.4, а - г даны соответственно прямые формы I и II и транспонированные прямые формы I и II реализаций фрикции (13 4).

Рис. 13.4. Прямая и транспонированная прямая формы реализации функции (13.4).