12.2. Расчет цифровых КИХ-фильтров

Передаточная функция цифрового КИХ-фильтра представляется в виде

где импульсная характеристика имеет длительность или обладает протяженностью в отсчетов. Если импульсная характеристика цифрового КИХ-фильтра удовлетворяет следующему условию;

для когда четное, и для когда нечетное, то можно показать, что цифровой фильтр будет обладать линейной фазовой характеристикой. Действительно, если нечетное, то из уравнений (12.134) и (12.135) следует, что

Аналогично для четного частотная характеристика имеет вид

В обоих случаях фаза цифрового КИХ-фильтра равна

и линейна для частот . Групповое время

постоянно для частот

В большинстве случаев именно потребность в линеиной фазе или постоянном групповом времени вызывает необходимость применения цифровых КИХ-фильтров. Из-за ограничения, налагаемого условием (12.135), расположение нулей цифрового

Рис. 1222 Свойства симметрии в расположении нулей цифровых КИХ-фильтров с линейной фазой. а — вещественные нули; б — нули на единичной окружности; в — комплексные нули.

КИХ-фильтра с линейной фазой должно удовлетворять определенным требованиям симметрии. Для того чтобы показать это, запищем уравнение (13.134) следующим образом:

Определим новую независимую переменную

Исходя из условия (12.135), можно переписать уравнен» (12.139) через новую искусственную переменную в виде

Это означает, что нули функции являются и нулями функции за исключением, может быть, «фантомных» нулей Из этого замечания следует, что нули цифрового КИХ-фильтра с линейной фазой обладают следующими свойствами симметрии.

а) Если вещественный нуль функции то и также нуль функции

б) Если — нуль функции где , то и также нуль функции

в) Если — нуль функции где также нули функции

Эти свойства симметрии в расположении нулей иллюстрирует рис. 12.22. Передаточную функцию цифрового КИХ-фильтра с линейной фазой можно записать в виде произведения элементарных сомножителей следующим образом:

где каждый сомножитель может принимать одну из трех форм: