6.1. Свойства входных RC-функций полного сопротивления

Свойства и методы реализации входных -функций легче всего установить путем параллельного сравнения с таковыми же для входных LC-функций. Это не самый строгий способ изложения, но он тем не менее приводит к точным результатам и позволяет глубже понять свойства двухэлементных функций полного сопротивления и полной проводимости.

В гл. 5 было показано, что любую функцию полного сопротивления LС-двухполюсника без потерь можно описать уравнением (5.25), которое для удобства приведем еще раз:

Это означает, что любому LC-двухполюснику соответствует эквивалентная схема на рис. 5.2.

Сопоставим заданному RС-двухполюснику LC-двухполюсник полученный путем замены каждого сопротивления (Ом) на индуктивность . Как следует из предыдущего абзаца, двухполюснику соответствует эквивалентная схема на рис. 5.2. Если теперь мы получим двухполюсник путем замены каждой индуктивности на сопротивление , то, очевидно, будет эквивалентен так же, как эквивалентен

Для входная функция полного сопротивления определяется (6.1), а получается путем замены каждой ветви с полным сопротивлением на сопротивление . Поэтому для функция полного сопротивления будет иметь вид

Положив

получим вместо (6.2)

где а также положительны и вещественны. Поскольку и эквивалентные двухполюсники, для функция полного сопротивления также, очевидно, задается (6.4). Отсюда мы заключаем, что функцию полного сопротивления для любого -двухполюсника можно записать в виде (6.4).

Перейдем теперь от этих предварительных соображений к рассмотрению некоторых общих свойств импедансных функций полного сопротивления для двухполюсников.

Свойство Все полюсы и нули функции полного сопротивления -двухполюсника лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости

Доказательство. Из (4.5) входная функция полного сопротивления двухполюсника удовлетворяет следующему уравнению:

Далее, (6.5) показывает, что нули должны удовлетворять уравнениям вида

Хотя и являются функциями можно все же заключить, основываясь на (6.6), что нули функции полного сопротивления -двухполюсника лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости . В силу дуальности можно заключить, что и нули функции полной проводимости -двухполюсника должны лежать на отрицательной вещественной полуоси. Следовательно, и нули, и полюсы входной функции -двухполюс-ника лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости

Основываясь на общей форме (6.4) функции полного сопротивления -двухполюсника, делаем еще следующие заключения:

Свойство Вычеты вещественны и положительны.

Доказательство. Из (6.4) вычетами являются постоянные Эти вычеты вещественны и положительны, как показывает

Свойство ZRC3. не может иметь полюс при Кроме того

Доказательство. Из а это — конечное неотрицательное число. Следовательно, не может быть полюсом Кроме того, из (6.4)

Если то имеет полюс при Если , то точка не является полюсом

Тем самым свойство доказывается.

Свойство есть функция, монотонно падающая вдоль вещественной оси плоскости исключая точки полюсов

Доказательство. Дифференцируя (6.4) по получаем

При переходит в

Поскольку, как указывает свойство положительны и вещественны,

для всех а, исключая которые являются полюсами

Некоторые типичные зависимости от о показаны на рис. 6.1. Как следствие свойства имеем еще два свойства:

Свойство Все полюсы и нули простые и лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости s чередуясь. Критической точкой, наиболее близкой к началу координат,

Рис. 6.1. Типичные зависимости от а. не является нулем является нулем не является полюсом является полюсом О нуль; X полюс.

должен быть полюс (это может иметь место прямо в начале координат), а критической точкой, наиболее близкой к является нуль (это также может иметь место прямо при Включая точку число полюсов равно числу нулей (рис. 6.1).

Свойство Если не является нулем то можно записать как

четное число. С другой стороны, если является нулем последняя выражается как

где — четное число, и

Отметим, что (6.13) просто указывает, что конечных полюсов столько же, сколько конечных нулей. Следовательно, степени полиномов, стоящих в числителе и знаменателе, одинаковы. В (6.15) степень знаменателя на единицу больше степени числителя, из чего следует, что конечных полюсов больше, чем конечных нулей. Если задана в виде отношения двух полиномов где соответственно полиномы степеней то свойство подразумевает

Свойства и играют весьма важную роль при проектировании активных фильтров, рассматриваемом в гл. 10.

Свойство монотонно падает с возрастанием

Доказательство. Из (6.4) вещественная часть равна

При возрастании второй член правой части (6.18) уменьшается, а первый остается постоянным. Следовательно, наше заключение правильное.

Свойство означает, что достигает минимального значения при Из — величина вещественная. Следовательно, имеем

Выражение (6.19) весьма полезно при синтезе входных функций RС-двухполюсников, в особенности при первой форме Кауэра. Оно показывает, что — это наибольшая положительная постоянная, какую можно извлечь из причем остаточная функция полного сопротивления все еще будет ПВ-функцией, обладающей всеми

свойствами входной RС-функции полного сопротивления. Этот факт используется при реализации входных RС-функций первой формой Кауэра.

Схемная реализация (6.2), полученная путем разложения (6.4) на простые дроби, приведена на рис. 6.2. Она называется первой формой Фостера.

Рис. 6,2. Схемная структура первой формы Фостера.

Отметим, что схема на рис. 6.2 такая же, как на рис. 5.2, только все индуктивности заменены сопротивлениями соответствующих номиналов.