8.2.6. Эллиптические фильтры

Фильтры Баттерворта и Чебышева имеют передаточные функции, которые по форме представляют собой постоянную, деленную на полином. Это означает, что все нули передачи располагаются в . В некоторых случаях это не будет идеальным решением. Встречаются обстоятельства, когда желательно иметь конечные нули передачи. В 1931 г. Кауэр показал, что можно получить гораздо лучшую аппроксимацию идеализированных амплитудно-частотных характеристик фильтров нижних частот, если использовать фильтр с конечными нулями передачи. Он нашел, что при надлежащем выборе нулей и полюсов можно спроектировать фильтр с равноволновым затуханием как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. Поскольку координаты нулей в таких фильтрах определяются эллиптическими функциями классической теории поля, эти фильтры часто называют эллиптическими. Другое их название — фильтры Кауэра, поскольку впервые их описание появилось в работе Кауэра.

Исходный момент проектирования эллиптических фильтров аналогичен процессу, с которого начинается расчет фильтров Чебышева. Функция передачи эллиптического фильтра определяется следующим выражением:

где рациональная функция имеет вид

когда нечетно, и

когда четно и где

Сопряженные пары критических частот общим числом

имеют два следующих свойства:

Рис. 8 20. Амплитудно-частотные характеристики эллиптических фильтров. а — аппроксимация идеализированных характеристик; б - пример эллиптического фильтра пятого порядка.

Учитывая выражения (8.102в) и (8.104б), легко показать, что нули передачи нормированного эллиптического фильтра располагаются на частотах, больших т. е. в полосе задерживания.

Расчетными параметрами эллиптических фильтров являются критические частоты где . Эти параметры выбираются с таким расчетом, чтобы удовлетворялись требования к функции передачи

(рис. 8.20, а), где — граничная частота полосы пропускания, а — граничная частота полосы задерживания и

Сравнивая выражения (8.101) с выражением (8.105 а), получим

где А является максимальным значением для Из выражения (8.102) имеем

Это означает, что минимальное значение для равно Следовательно, выражение (8.105 б) требует, чтобы

Получение расчетных параметров которые удовлетворяют заданным условиям (8.107) и (8.109), является довольно сложной процедурой, и здесь мы ее не приводим. Пример эллиптического фильтра пятого порядка, который удовлетворяет условиям (8.105) при приведен на рис. 8.20, б.