12.1. Расчет цифровых БИХ-фильтров

Для цифровых БИХ-фильтров передаточные функции задаются соотношениями вида (12.9). Заметим, что при замене переменной на s выражение (12.9) представляет собой передаточную функцию аналогового фильтра. Сходство передаточных функций цифровых и аналоговых фильтров приводит к тому, что одним из наиболее целесообразных подходов к проектированию цифровых БИХ-фильтров является нахождение в некотором смысле цифровых вариантов методов расчета аналоговых фильтров. Реализация этого подхода требует разработки простых алгоритмов, которые обеспечивают переход от расчета аналоговых фильтров к расчету цифровых. Это означает, что расчет цифровых БИХ-фильтров состоит из следующих Двух этапов.

Этап 1. Получение подходящей передаточной функции которая удовлетворяет требованиям обработки сигнала.

Этап 2. Создание процедуры перехода, которая преобразует функцию в соответствующую передаточную функцию для получения метода расчета цифрового БИХ-фильтра, удовлетворяющего заданным техническим требованиям.

Этот двухшаговый алгоритм расчета цифровых БИХ-фильтров показан на рис. 12.5. Такая методика наиболее целесообразна

при проектировании фильтров с типовыми характеристиками, таких, как фильтры нижних и верхних частот, полосовые и заграждающие, для которых имеется хорошо разработанный аппарат аналоговой фильтрации. Методам расчета аналоговых фильтров была посвящена гл. 8. Для завершения алгоритма расчета, приведенного на рис. 12.5, в этом разделе рассматриваются различные методы реализации этапа 2.

Рис. 12 5. Двухэтапная процедура расчета цифровых БИХ-фильтров.

Поскольку рассчитанные на этапе 1 аналоговые фильтры удовлетворяют требованиям обработки сигнала, необходимо иметь уверенность, что полученные цифровые фильтры также обладают всеми требуемыми свойствами, включая частотные характеристики, т. е. поведением амплитуды и фазы аналоговых фильтров. Вследствие этого желательно, чтобы процедура перехода на этапе 2 удовлетворяла следующим двум условиям:

Условие 1. Мнимая ось s-плоскости для отображается в единичную окружность в -плоскости для (рис. 12.6, а). Формально это условие записывается в виде

Это свойство необходимо для сохранения частотных характеристик аналоговых фильтров.

Условие 2. Левая половина s-плоскости отображается в часть -плоскости внутри единичного круга (рис. 12.6, б). Формально это условие представляется следующим образом:

Рис. 12.6. Два необходимых требования процедур перехода, показанных на рис. 12.5.

Это условие необходимо для сохранения свойств устойчивости аналоговых фильтров. Другими словами, процедура перехода переводит устойчивые аналоговые фильтры в устойчивые цифровые фильтры.