11. Введение в цифровые фильтры

Цифровой фильтр представляет собой устройство обработки сигнала, преобразующее одну последовательность чисел (называемую входной) в другую (называемую выходной). Многие теоретические принципы цифровой фильтрации были известны еще со времен Лапласа. Однако существующий уровень техники не позволял реализовать эти знания, и только появление ЦВМ привело к широкому распространению цифровых фильтров. Сейсмологи успешно применили принципы цифровой фильтрации Для решения многих интересных проблем. Использование цифровой фильтрации для обработки фотоснимков, полученных от удаленных источников, межпланетной связи и рентгеновских пленок, позволило значительно улучшить их качество. Она нашла также применение в обработке речи, картографии, радио- и звуколокации и медицинской аппаратуре.

Цифровой фильтр реализуется либо как программа на ЦВМ, либо аппаратурным способом в виде схемы, содержащей регистры, умножители и сумматоры. В течение ряда лет программное исполнение было единственным способом осуществления цифровой фильтрации и в настоящее время еще является преобладающим. Сложные цифровые фильтры неизменно реализуют на универсальных или специализированных ЦВМ. Однако быстрое развитие технологии больших интегральных схем открыло возможность их аппаратурного исполнения. В настоящее время промышленность выпускает достаточно дешевые сумматоры, регистры сдвига и умножители. В перспективе ожидается появление универсальных кристаллов (чипов) цифровой обработки сигналов и микропроцессоров для «перемалывания» чисел. История развития микроэлектронной промышленности свидетельствует о том, что можно ожидать значительного снижения стоимости и улучшения качества этих компонентов. Следовательно, можно комбинировать аппаратурную и программную реализации для получения дешевых и тем не менее эффективных цифровых фильтров.

11.1. Цифровые сигналы и системы

Как было показано в гл. 1, фильтр представляет собой устройство обработки сигнала, которое усиливает одни сигналы и подавляет другие. Сигнал может быть непрерывной функцией

независимой переменной (которой обычно называют время), например, конфигурации напряжения и тока в аналоговых фильтрах. Эти сигналы называются непрерывными сигналами. С другой стороны, сигнал можно определить только для конечного или самое большее для сосчитываемого бесконечного числа временных интервалов. Этот тип сигнала называется дискретным сигналом. Некоторыми примерами дискретных сигналов являются: годовой основной национальный продукт, месячный рост безработицы, диаграмма населенности небольшой деревни, месячное производство автомобилей, которые показаны соответственно на рис. 11.1, а - г. Основные источники дискретных сигналов получаются путем дискретизации непрерывных сигналов. Подходящий пример показан на рис. 11.2.

Цифровые сигналы — это дискретные сигналы с квантованными значениями. Типичным цифровым сигналом является выходной сигнал АЦП, который дискретизирует непрерывный сигнал и формирует последовательность бинарных чисел с конечной разрядностью. Сущность АЦП показана на рис. 11.3, а. Если скорость дискретизатора составляет один отсчет в 1 мкс, а между входным и выходным сигналами существует соотношение, как показано на рис. 11.3, б, то для заданного непрерывного сигнала

Рис. 11.1. Некоторые примеры дискретных сигналов.

Рис. 11.2. Дискретизации непрерывного сигнала. а — непрерывный сигнал, б — соответствующая дискретизированная последовательность.

на рис. 11.3, в соответствующие дискретный сигнал и выходной цифровой сигнал приведены на рис. 11.3, г, д. На рис. 11.1, в,г показаны некоторые другие типичные цифровые сигналы, где уровни квантования определены соответственно количеством человек и автомобилей. Строго говоря, цифровые вычислительные машины обрабатывают только цифровые сигналы.

В любой системе, работающей с цифровыми сигналами, конечное число уровней квантования приводит к появлению ошибок. Следовательно, при проектировании цифрового фильтра необходимо определить число разрядов или уровней квантования, необходимых для представления сигнала. Выбирая достаточно большое число разрядов, можно увеличить точность представления сигнала, но это приводит к удорожанию фильтра. Очевидно, что должен быть компромисс между точностью и стоимостью.

В этой книге не рассматриваются эффекты квантования в Цифровых фильтрах. По существу это означает представление чисел с бесконечной точностью. Таким образом, цифровой сигнал

рассматривается как дискретный. Другими словами, вместо понятий «цифровой» и «дискретный» используется только понятие «цифровой».

Цифровые сигналы вне зависимости от способа их получения представляются в виде последовательности чисел. Для описания цифровых сигналов используются следующие обозначения:

Рис. 11.3. Принцип работы АЦП. а — схема; б - соотношение между входныу и выходным сигналами квантователя; в, г и д - пример. Обозначения: непрерывный сигнал на входе АЦП, - дискретный сигнал на выходе дискретизатора, — цифровой сигнал на выходе АЦП.

Заметим, что обозначение (11.1 б) применяется для сигналов с равномерными временными интервалами между отсчетами, тогда как обозначение (11.1 а) предполагает и неравномерное их размещение.

Некоторые важные последовательности:

1) последовательность единичный импульс определяемая следующим образом:

Заметим, что последовательность вида

можно выразить через последовательность единичный импульс следующим образом:

2) последовательность единичный скачок (единичная ступенчатая), определяемая выражением

Из определений (11.2) и (11.4) можно показать, что последовательности единичный импульс и единичная ступенчатая связаны соотношением

3) экспоненциальная последовательность

где а — действительная или комплексная величина. Заметим, что экспоненциальную последовательность можно представить в виде

4) синусоидальная последовательность с периодом Р

Если Р — положительное рациональное число, скажем где — относительно простые положительные числа, то последовательность (11.7) повторяется через каждые а отсчетов. Следовательно,

где — целое число. С другой стороны, если Р - иррациональное положительное число, то последовательность (11.7) не повторяется. Таким образом, цифровая синусоидальная последовательность не обязательно периодическая функция.

Подобно непрерывным функциям с цифровыми сигналами и последовательностями можно производить арифметические операции. Предположим, что две последовательности, а — скалярная величина. Тогда можно определить:

1) сумму и разность двух последовательностей

2) умножение последовательности на скалярную величину

3) умножение и деление двух последовательностей

Во «временной» области цифровая система описывается набором разностных уравнений.

Рис. 11.4 Цифровая система, а — частный случай; б — общий случай.

Это означает, что при заданной входной последовательности и начальных условиях системы разностные уравнения единственным образом определяют выходную последовательность. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую соотношением вида

где — соответственно входная и выходная последовательности, как показано на рис. 11.4. Если в качестве входной

последовательности используется единичный скачок

то выходная последовательность вычисляется из (11.10) для следующим образом:

Если , то (11.12) можно переписать в виде

Цифровая система с одним входом и одним выходом по существу является алгоритмом преобразования одной последовательности чисел в другую, который показан на рис. 11.4, б, где входная последовательность обозначена , а выходная — Пусть — соответственно отклики нулевого состояния на входные последовательности Тогда система называется линейной, если выходная последовательность пулевого состояния при входном воздействии вида

описывается соотношением

Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что выходной сигнал нулевого состояния при входной последовательности

определяется следующим соотношением:

Пусть отклик нулевого состояния на единичный импульс в тогда в системе с постоянными параметрами последовательность является откликом на Из (11.3) и линейности системы при входной последовательности заданной выражением вида

выходная последовательность нулевого состояния задается выражением

Это означает, что линейная цифровая система S с постоянными параметрами характеризуется импульсной характеристикой т. е. выходной последовательностью при единичном импульсе на входе и нулевых начальных условиях. Замена переменной в уравнении (11.17 а) приводит к следующему выражению:

Оба уравнения (11.17) обозначают свертку двух последовательностей которая обозначается как

Наконец, линейная система с постоянными параметрами называется устойчивой, если импульсная характеристика Удовлетворяет условию

и физически реализуемой, если

Заметим, что при нарушении условия (11.18) можно найти ограниченную входную последовательность где

которая дает неограниченную выходную последовательность такую, что

Пример 11.1 Система описывается следующими уравнениями:

Найти импульсную характеристику системы и определить условия устойчивости и физической реализуемости.

Решение. Поскольку начальные условия системы нулевые, как задано в уравнении (11.216), то для

выходная последовательность представляет собой импульсную характеристику Из (1121) получаем

С помощью метода математической индукции определяем, что

Для рассмотрения случая запишем (11.21) и (11.22) в виде при Получаем

Ясно, что

Следовательно, импульсная характеристика системы S с уравнением (11.21) определяется следующим выражением:

Из (11.24) следует, что система физически реализуема при всех а, а устойчива при .