Главная > Аналоговые и цифровые фильтры
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

11. Введение в цифровые фильтры

Цифровой фильтр представляет собой устройство обработки сигнала, преобразующее одну последовательность чисел (называемую входной) в другую (называемую выходной). Многие теоретические принципы цифровой фильтрации были известны еще со времен Лапласа. Однако существующий уровень техники не позволял реализовать эти знания, и только появление ЦВМ привело к широкому распространению цифровых фильтров. Сейсмологи успешно применили принципы цифровой фильтрации Для решения многих интересных проблем. Использование цифровой фильтрации для обработки фотоснимков, полученных от удаленных источников, межпланетной связи и рентгеновских пленок, позволило значительно улучшить их качество. Она нашла также применение в обработке речи, картографии, радио- и звуколокации и медицинской аппаратуре.

Цифровой фильтр реализуется либо как программа на ЦВМ, либо аппаратурным способом в виде схемы, содержащей регистры, умножители и сумматоры. В течение ряда лет программное исполнение было единственным способом осуществления цифровой фильтрации и в настоящее время еще является преобладающим. Сложные цифровые фильтры неизменно реализуют на универсальных или специализированных ЦВМ. Однако быстрое развитие технологии больших интегральных схем открыло возможность их аппаратурного исполнения. В настоящее время промышленность выпускает достаточно дешевые сумматоры, регистры сдвига и умножители. В перспективе ожидается появление универсальных кристаллов (чипов) цифровой обработки сигналов и микропроцессоров для «перемалывания» чисел. История развития микроэлектронной промышленности свидетельствует о том, что можно ожидать значительного снижения стоимости и улучшения качества этих компонентов. Следовательно, можно комбинировать аппаратурную и программную реализации для получения дешевых и тем не менее эффективных цифровых фильтров.

11.1. Цифровые сигналы и системы

Как было показано в гл. 1, фильтр представляет собой устройство обработки сигнала, которое усиливает одни сигналы и подавляет другие. Сигнал может быть непрерывной функцией

независимой переменной (которой обычно называют время), например, конфигурации напряжения и тока в аналоговых фильтрах. Эти сигналы называются непрерывными сигналами. С другой стороны, сигнал можно определить только для конечного или самое большее для сосчитываемого бесконечного числа временных интервалов. Этот тип сигнала называется дискретным сигналом. Некоторыми примерами дискретных сигналов являются: годовой основной национальный продукт, месячный рост безработицы, диаграмма населенности небольшой деревни, месячное производство автомобилей, которые показаны соответственно на рис. 11.1, а - г. Основные источники дискретных сигналов получаются путем дискретизации непрерывных сигналов. Подходящий пример показан на рис. 11.2.

Цифровые сигналы — это дискретные сигналы с квантованными значениями. Типичным цифровым сигналом является выходной сигнал АЦП, который дискретизирует непрерывный сигнал и формирует последовательность бинарных чисел с конечной разрядностью. Сущность АЦП показана на рис. 11.3, а. Если скорость дискретизатора составляет один отсчет в 1 мкс, а между входным и выходным сигналами существует соотношение, как показано на рис. 11.3, б, то для заданного непрерывного сигнала

Рис. 11.1. Некоторые примеры дискретных сигналов.

Рис. 11.2. Дискретизации непрерывного сигнала. а — непрерывный сигнал, б — соответствующая дискретизированная последовательность.

на рис. 11.3, в соответствующие дискретный сигнал и выходной цифровой сигнал приведены на рис. 11.3, г, д. На рис. 11.1, в,г показаны некоторые другие типичные цифровые сигналы, где уровни квантования определены соответственно количеством человек и автомобилей. Строго говоря, цифровые вычислительные машины обрабатывают только цифровые сигналы.

В любой системе, работающей с цифровыми сигналами, конечное число уровней квантования приводит к появлению ошибок. Следовательно, при проектировании цифрового фильтра необходимо определить число разрядов или уровней квантования, необходимых для представления сигнала. Выбирая достаточно большое число разрядов, можно увеличить точность представления сигнала, но это приводит к удорожанию фильтра. Очевидно, что должен быть компромисс между точностью и стоимостью.

В этой книге не рассматриваются эффекты квантования в Цифровых фильтрах. По существу это означает представление чисел с бесконечной точностью. Таким образом, цифровой сигнал

рассматривается как дискретный. Другими словами, вместо понятий «цифровой» и «дискретный» используется только понятие «цифровой».

Цифровые сигналы вне зависимости от способа их получения представляются в виде последовательности чисел. Для описания цифровых сигналов используются следующие обозначения:

Рис. 11.3. Принцип работы АЦП. а — схема; б - соотношение между входныу и выходным сигналами квантователя; в, г и д - пример. Обозначения: непрерывный сигнал на входе АЦП, - дискретный сигнал на выходе дискретизатора, — цифровой сигнал на выходе АЦП.

Заметим, что обозначение (11.1 б) применяется для сигналов с равномерными временными интервалами между отсчетами, тогда как обозначение (11.1 а) предполагает и неравномерное их размещение.

Некоторые важные последовательности:

1) последовательность единичный импульс определяемая следующим образом:

Заметим, что последовательность вида

можно выразить через последовательность единичный импульс следующим образом:

2) последовательность единичный скачок (единичная ступенчатая), определяемая выражением

Из определений (11.2) и (11.4) можно показать, что последовательности единичный импульс и единичная ступенчатая связаны соотношением

3) экспоненциальная последовательность

где а — действительная или комплексная величина. Заметим, что экспоненциальную последовательность можно представить в виде

4) синусоидальная последовательность с периодом Р

Если Р — положительное рациональное число, скажем где — относительно простые положительные числа, то последовательность (11.7) повторяется через каждые а отсчетов. Следовательно,

где целое число. С другой стороны, если Р - иррациональное положительное число, то последовательность (11.7) не повторяется. Таким образом, цифровая синусоидальная последовательность не обязательно периодическая функция.

Подобно непрерывным функциям с цифровыми сигналами и последовательностями можно производить арифметические операции. Предположим, что две последовательности, а — скалярная величина. Тогда можно определить:

1) сумму и разность двух последовательностей

2) умножение последовательности на скалярную величину

3) умножение и деление двух последовательностей

Во «временной» области цифровая система описывается набором разностных уравнений.

Рис. 11.4 Цифровая система, а — частный случай; б — общий случай.

Это означает, что при заданной входной последовательности и начальных условиях системы разностные уравнения единственным образом определяют выходную последовательность. В качестве примера рассмотрим систему, описываемую соотношением вида

где — соответственно входная и выходная последовательности, как показано на рис. 11.4. Если в качестве входной

последовательности используется единичный скачок

то выходная последовательность вычисляется из (11.10) для следующим образом:

Если , то (11.12) можно переписать в виде

Цифровая система с одним входом и одним выходом по существу является алгоритмом преобразования одной последовательности чисел в другую, который показан на рис. 11.4, б, где входная последовательность обозначена , а выходная — Пусть — соответственно отклики нулевого состояния на входные последовательности Тогда система называется линейной, если выходная последовательность пулевого состояния при входном воздействии вида

описывается соотношением

Система с постоянными параметрами характеризуется тем, что выходной сигнал нулевого состояния при входной последовательности

определяется следующим соотношением:

Пусть отклик нулевого состояния на единичный импульс в тогда в системе с постоянными параметрами последовательность является откликом на Из (11.3) и линейности системы при входной последовательности заданной выражением вида

выходная последовательность нулевого состояния задается выражением

Это означает, что линейная цифровая система S с постоянными параметрами характеризуется импульсной характеристикой т. е. выходной последовательностью при единичном импульсе на входе и нулевых начальных условиях. Замена переменной в уравнении (11.17 а) приводит к следующему выражению:

Оба уравнения (11.17) обозначают свертку двух последовательностей которая обозначается как

Наконец, линейная система с постоянными параметрами называется устойчивой, если импульсная характеристика Удовлетворяет условию

и физически реализуемой, если

Заметим, что при нарушении условия (11.18) можно найти ограниченную входную последовательность где

которая дает неограниченную выходную последовательность такую, что

Пример 11.1 Система описывается следующими уравнениями:

Найти импульсную характеристику системы и определить условия устойчивости и физической реализуемости.

Решение. Поскольку начальные условия системы нулевые, как задано в уравнении (11.216), то для

выходная последовательность представляет собой импульсную характеристику Из (1121) получаем

С помощью метода математической индукции определяем, что

Для рассмотрения случая запишем (11.21) и (11.22) в виде при Получаем

Ясно, что

Следовательно, импульсная характеристика системы S с уравнением (11.21) определяется следующим выражением:

Из (11.24) следует, что система физически реализуема при всех а, а устойчива при .

1
Оглавление
email@scask.ru