8. Аппроксимация характеристики фильтра

В гл. 7 мы изложили методы реализации заданных передаточных функций. В этой главе мы рассмотрим различные особенности передаточных функций и перейдем к получению передаточных функций для некоторых известных семейств фильтров.

Проектируя фильтр, инженер сталкивается с необходимостью согласовать требования к обработке сигнала с тем, что можно реализовать имеющимися схемными средствами. Нередко случается так, что введение в характеристики фильтра простейших ограничений, направленных на удовлетворение поставленных требований к обработке сигнала, приводит к тому, что такой фильтр оказывается физически нереализуемым. В качестве примера рассмотрим радио- или телевизионный приемник Передающая станция располагает полосой частот, называемой каналом, в пределах которой она должна передавать свой сигнал. В идеальном случае приемник должен принимать и подвергать обработке любой сигнал, попадающий в канал, который выделен данной станции, и полностью исключать из обработки сигналы других частот. Следовательно, простейшим образом сформулированные требования к квадрату модуля коэффициента передачи приемника имеют такой вид:

где — канал, в пределах которого должен приниматься сигнал. Однако ни одна линейная схема на сосредоточенных элементах не способна точно воспроизвести такую передаточную функцию. Это объясняется двумя причинами: во-первых, любой линейный фильтр с сосредоточенными и неизменными во времени параметрами, который содержит R, L, и активные элементы, описывается функцией передачи, являющейся рациональной функцией частоты, и, во-вторых, значение рациональной функции не может иметь постоянную величину в пределах какой-либо полосы частот, если оно не характеризуется

постоянной величиной повсюду. Поскольку ни одна передаточная функция физически реализуемой схемы не может точно удовлетворить требования (8.1), остается лишь одна возможность — искать для (8 1) аппроксимацию в виде физически реализуемой передаточной функции.

К счастью, в практических применениях к фильтрам не предъявляются столь строгие требования, как (8.1). Всегда возможны отклонения от идеальных характеристик, хотя иногда эти отклонения должны быть достаточно малыми. Так, например, в случае упомянутого выше радио- и телевизионного приемника прием можно считать удовлетворительным, если модуль коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания отклоняется от заданной величины А не более чем на ±5% и составляет менее 1% от А, или величину, уровень которой на 40 дБ ниже для всех частот, которые удалены от краев полосы пропускания более чем на 1/10 ширины полосы пропускания. Таким образом,

Обратите внимание на то, что выражение (8.2 а) представляет собой характеристику коэффициента передачи филура в полосе пропускания, выражение (8.26) определяет коэффициент передачи в полосе задерживания, а выражение (8.2 в) характеризует ширину переходной полосы. Если прибегнуть к графическому изображению, то значения должны находиться в пределах заштрихованной области, изображенной на рис. 8.1.

Осуществление реальной схемы, характеристики которой соответствуют характеристикам фильтра, заданного выражениями (8.2), как правило, выполняется с помощью следующей двухэтапной процедуры:

Этап 1. Стадия проектирования: найти устойчивую и физически реализуемую передаточную функцию, частотные характеристики которой соответствуют заданным характеристикам фильтра.

Этап 2. Стадия реализации: реализовать практической схемой передаточную функцию, найденную на этапе 1. В этой главе мы будем заняты решением проблем, связанных со стадией проектирования. Различные стороны стадии реализации обсуждаются в этой главе, а также в гл. 7 (методы

пассивной реализации), гл. 10 (методы активной реализации) и гл. 12 и 13 (методы цифровой реализации).

В случае характеристик, описываемых выражением (8.2), первый этап также включает решение задачи аппроксимации — нахождения устойчивой и физически реализуемой передаточной функции, которая будет аппроксимировать идеальные характеристики, определяемые выражением (8.1) с учетом допусков, определяемых выражением (8.2).

Рис. 8.1. Типичная характеристика фильтра.

Существует множество теорем, таких, например, как теорема аппроксимации Вейерштрасса, а также конструктивных алгоритмов, которые позволяют аппроксимировать заданную функцию с помощью других. Эти результаты могут быть использованы для решения наших задач по проектированию фильтров. Однако это требует ряда математических методов, которыми не просто овладеть. Для решения весьма распространенной инженерной задачи, связанной с расчетом фильтра, коэффициент передачи которого должен иметь заданные характеристики в различных частотных диапазонах, имеются хорошо зарекомендовавшие себя методы проектирования, которые довольно легко использовать. Эти методы опираются на ряд стандартных функциональных построений, которые позволяют реализовать основные функции фильтров. Все, что требуется в случае их применения, — это надлежащий выбор или определение для конкретно решаемой задачи соответствующих коэффициентов. Мы кратко обсудим ряд таких стандартных типов фильтров.

Проектирование большинства этих стандартных типов фильтров начинается с их аппроксимации в виде фильтра нижних частот с нормированной идеализированной характеристикой. Нормированный идеальный фильтр нижних частот имеет единичный коэффициент передачи в полосе частот от 0 до 1 рад/с

и нулевой коэффициент передачи на всех частотах, больших Фазовый сдвиг для такого фильтра представляет собой линейную функцию, которая имеет единичный тангенс угла наклона в полосе пропускания. Для частот, превышающих фазовый сдвиг не имеет значения, поскольку на таких частотах фильтр все равно не пропускает сигнала. Таким образом, нормированный идеальный фильтр нижних частот определяется следующим образом:

Модуль коэффициента передачи и фазовый сдвиг, определяемые выражениями (8.3), изображены на рис. 8.2. Как только получен фильтр нижних частот с нормированной идеализированной характеристикой, сразу же можно применить подходящие частотные преобразования с помощью которых этот базовый фильтр нижних частот может быть превращен в фильтр верхних частот, полосовой, заграждающий и другие более сложные частотно-избирательные фильтры с несколькими полосами пропускания и задерживания, а также иные фильтры нижних частот.

Рис. 8 2. Частотные характеристики нормированных идеальных фильтров нижних частот. а — амплитудно-частотная; б — фазочастотная.

Поскольку фильтрация сигналов представляет собой важную техническую проблему, ей было уделено серьезное внимание и найдено, что ряд аппроксимаций характеристик фильтра, определяемого выражениями (8.3), отличаются особо удовлетворительными качествами. Характеристики этих аппроксимирующих выражений были табулированы. Ниже перечислены некоторые из распространенных типов фильтров:

1. Фильтр Баттерворта с монотонно убывающей амплитудно-частотной характеристикой при .

2. Фильтр Чебышева с равноволновой в полосе пропускания и монотонно убывающей в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой.

3. Инверсный фильтр Чебышева с монотонно убывающей в полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой.

4. Эллиптический фильтр (также известен как фильтр Кауэра, или двойной фильтр Чебышева) с равноволновой как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой.

5. Фильтр Бесселя (также известный как фильтр с максимально плоской характеристикой группового времени замедления), который построен на основе аппроксимации рядом Тейлора вблизи линейной фазочастотной характеристики.

В этой главе мы рассмотрим некоторые особенности фильтров Баттерворта, Чебышева и Бесселя.

Вспомним, что на основе преобразования Гильберта в разд. 3.2.1 утверждается, что минимально-фазовая цепь полностью определяется либо функцией модуля, либо функцией фазы. Это означает, что передаточная функция не может одновременно аппроксимировать и амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики нормированного идеализированного фильтра нижних частот. Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный Чебышева и эллиптический аппроксимируют амплитудно-частотную, а фильтр Бесселя — фазочастотную характеристики нормированного идеализированного фильтра нижних частот.

Прежде чем мы приступим к обсуждению различных по амплитудно-частотной характеристике типов фильтров, рассмотрим некоторые основные свойства соответствующей функции модуля передаточной функции. Квадрат модуля функции передачи определяется следующим выражением:

Поскольку коэффициенты функции являются вещественными,

Следовательно, может быть вычислена, исходя из

Передаточная функция может быть всегда представлена в виде произведения сомножителей первой степени, содержащих полюсы и нули функции

Следовательно, функция может быть записана в виде произведения таких групп сомножителей, как

Когда , правая часть выражения (8.8) приобретает вид Таким образом, квадрат модуля передаточной функции всегда может быть записан в следующей форме:

Если все полюсы и нули являются вещественными, то из выражения (8.9) следует, что функция положительна и вещественна и, кроме того, является функцией от Давайте теперь обратимся к случаю, когда некоторые или даже все полюсы и нули функции являются комплексными. Поскольку комплексные полюсы и нули любой передаточной функции должны встречаться в виде сопряженных пар, давайте предположим Тогда сомножители, которые содержат и можно сгруппировать совместно таким образом:

Если мы запишем

где являются вещественными числами, тогда

Подставляя выражения (8.11) в (8.10), получим

Следовательно, при является зависимым от полиномом с вещественными коэффициентами, причем значение этого полинома больше нуля для всех вещественных . Объединяя совместно все сомножители, получаем:

Теорема 8.1. Полиномы числителя и знаменателя квадрата модуля функции передачи представляют собой полиномы от с вещественными коэффициентами, причем значения этих полиномов больше нуля для всех вещественных значений .

Требования, выражаемые теоремой 8.1, должны удовлетворяться любой передаточной функцией. В процессе аппроксимации амплитудно-частотной характеристики нормированного идеализированного фильтра нижних частот мы должны обеспечить, чтобы результирующая функция отвечала требованиям, выражаемым теоремой 8.1. В противном случае аппроксимирующая передаточная функция окажется бесполезной, поскольку она будет физически нереализуемой.