11.2.2. Обратное Z-преобразование

-Преобразование представляет собой метод исследования линейных цифровых систем с постоянными параметрами. С точки зрения анализа желательнее иметь сами выходные последовательности, а не их z-преобразования. Процесс нахождения последовательности по соответствующей функции переменной z называется обратным z-преобразованием. Формально обратное -преобразование функции определяется соотношением

где интеграл в выражении (11.54) представляет собой контурный интеграл по замкнутому пути С. Для простоты путем интегрирования может быть окружность С в области сходимости функции в -плоскости.

Прямая оценка выражения (11.54) практически крайне затруднительна. В основном не используется соотношение (11.54) для непосредственного нахождения обратного -преобразования функции . В этом подразделе приведены четыре метода нахождения выражения (11.54).

Метод вычетов. Если является рациональной функцией переменной то выражение (11.54) можно оценить с помощью

теоремы о вычетах, которая устанавливает, что

где

Пример 11.8. Определить с помощью метода вычетов обратное -преобразование

Решение. Предположим, что

Тогда уравнение (1155) показывает, что последовательность образуется суммой вычетов во всех полюсах внутри некоторой окружности С.

Рис. 11.6. Расположение полюсов функции в выражении (1157). а — для — для Обозначения X — расположения полосов.

Для простоты выберем окружность С с радиусом большим в -плоскости. При замкнутый путь С охватывает только один полюс в точке как показано на рис. 11.6, а. Следовательно, из уравнения (11.55 а) получаем при

Для функцию можно переписать в виде

Это означает, что имеется простой полюс в точке и полюс в точке с кратностью как показано на рис. 11.6, б. Следовательно,

где — соответственно вычеты в точках

При получаем

Следовательно,

При получаем

Следовательно,

Это приводит к тому, что для каждого получаем

Поэтому для

Из соотношений (11.58) и (11.64) обратное -преобразование функции заданной выражением (1156), имеет вид

Этот результат легко можно проверить с помощью табл. 11.1.

Метод непрерывного деления. Предположим, что функция определяется соотношением

где Тогда делением числителя функции на ее знаменатель получаем

Из сравнения выражений (11.67) и (11.25) имеем

Пример 11.9. Определить с помощью метода непрерывного деления обратное -преобразоваиие

Решение. Деление числителя функции на ее знаменатель дает

Следовательно, функцию можно записать в виде

Этот метод в основном не обеспечивает нахождения последовательности при больших значениях поскольку достижение этапа требует длительного процесса деления и, следовательно, используется для нахождения только нескольких первых членов последовательности.

Метод разложения в степенной ряд. Пусть функция является z-преобразованием последовательности Определим функцию следующим образом:

Разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки дает

Сравнивая выражения (11.70) и (11.71), получаем

Пример 11.10. Найти с помощью метода разложения в степенной ряд обратное -преобразование

Решение Из соотношений (11.70) и (11.71)

Подставив уравнения (11.75) в формулу (11.74), получим

Метод разложения на простые дроби. Если функция записана в виде сомножителей согласно выражению (11.40), то ее разложение на простые дроби имеет вид

где предполагается, что а полюсы различны (т. е. при ). Заметим, что является вычетом функции в полюсе, расположенном в точке Следовательно,

Поскольку z-преобразование — линейная операция, то и обратное z-преобразование также линейная операция. Это означает, что последовательность можно получить суммированием обратных z-преобразований каждого члена выражения (11.77). Таким образом,

Формула (11.79) дает исчерпывающую информацию о последовательности при условии, что все полюсы вещественные. Однако если некоторые или все полюсы комплексные, то из соотношения (11.79) не очевидно, что результирующая последовательность является последовательностью с вещественными цислами.

Предположим, что все коэффициенты функции - вещественные числа. В этом случае известно, что если полюс

комплексный (включая и чисто мнимый случай), то имеется полюс такой, что

где а обозначает величину комплексно-сопряженную а. Кроме того, вычеты, соответствующие полюсам также являются комплексно-сопряженными величинами. Таким образом, имеем

Следовательно, сумма членов в выражении (11.77) определяется как

Пример 11.11. Пусть

а) Найти обратное z-преобразование функции методом разложения на простые дроби.

б) Определить последовательность если . Решение. Разложение функции (1182) на простые дроби дает

где полюсы расположены в точках

а соответствующие вычеты определяются как

Следовательно,

Если

а из уравнений (11.81) получаем

Заметим, что можио также получить уравнение (11.85 в) непосредственно из выражения (11.84).

Пример 11.12. Пусть цифровая система характеризуется следующим соотношением:

Определить отклик нулевого состояния для входной последовательности

Решение. Выполняя -преобразование выражения (11.86), получаем или Из табл. 11.1 следует, что

Заметим, что система, описываемая соотношением (11.86), неустойчива.