8.4.2. Преобразование НЧ в ПФ

Частотное преобразование, которое превращает НЧ-прототип (с одной полосы пропускания, имеющей среднюю частоту в полосовой фильтр (с двумя полосами пропускания со средними частотами каждая из которых характеризуется шириной полосы В), безусловно не является линейным, как это имело место в случае преобразования . Рассмотрим явное преобразование

где является требуемой средней частотой, ширина полосы частот в полосовом фильтре.

Преобразование частоты в соответствии с (8.159) имеет следующие важные характеристики:

1. Точка отображается на средние частоты . В общем случае точка отображается на две точки и , за исключением случая, когда Точка, лежащая в бесконечности, отображается на начало координат.

2. Положительная (отрицательная) мнимая ось отображается на интервал

3. Пусть будут отображениями точек в случае преобразования (8.159), тогда

Вследствие выполнения условия (8.160) результирующие характеристики затухания (и фазовая) в полосе пропускания не будут иметь арифметическую симметрию относительно а демонстрируют геометрическую симметрию. Если положим в выражении то будут соответствовать

краям полосы пропускания результирующего полосового фильтра. Следовательно, имеем такие соотношения:

Основные свойства преобразования (8.159) иллюстрируются рис. 8.28.

Рис. 8.28. Основные свойства преобразования частоты фильтр нижних частот — полосовой.

В случае преобразования мы можем получить передаточную функцию полосового фильтра из передаточной функции НЧ-прототипа путем замены каждой буквы s в на Чтобы получить требуемую схему полосового фильтра, мы можем реализовать результирующую передаточную функцию либо прибегая к различным методам реализации, либо просто используя преобразование цепи. Последний подход связан с осуществлением замены каждого элемента в схеме НЧ-прототипа соответствующим

набором элементов требуемой полоснопропускающей схемы. Чтобы определить, чем заменяется катушка индуктивности величиной L ГНЧ-прототипа, укажем на то, что функция сопротивления sL с помощью выражения (8.159) отображается в функцию сопротивления

Рис. 8.29. Преобразование элементов фильтр нижних частот — полосовой.

Это выражение по существу утверждает, что катушка индуктивности величиной ГНЧ-прототипа преобразуется в последовательное соединение из катушки индуктивности и конденсатора, причем последние имеют величины

соответственно. Аналогично емкостная проводимость НЧ-прототипа преобразуется в функцию проводимости вида

Следовательно, конденсатор емкостью С Ф НЧ-прототипа заменяется параллельным соединением из конденсатора и катушки индуктивности со следующими величинами:

соответственно. Цепи на рис. 8.29 служат иллюстрацией преобразования элементов схемы фильтра нижних частот в схему полосового фильтра. В случае применения преобразования (8.159) значения резисторов и резистивных элементов остаются изменения.

Пример 8.14. Предположим, что мы должны спроектировать полосовой фильтр, который отвечает следующим требованиям:

а) Средняя частота полосы пропускания равна

б) Ширина полосы пропускания по уровню 3 дВ равна 20 крад/с.

в) Максимальное затухание, которое допускается в полосе пропускания в пределах от крад/с до составляет 0,05 дБ.

г) Минимальное затухание в полосе задерживания должно составлять 10 дБ для

д) Для и требуется монотонно убывающая функция передачи.

Рис. 8.30. Графическое изображение технических требований примера 8.14 к полосовому фильтру (а); к нормированному НЧ-прототипу

1. Найти передаточную функцию для требуемого фильтра.

2. Найти схемную реализацию требуемого фильтра.

Решение. Во-первых, найдем требуемую передаточную функцию. Условие

д) требует выбора фильтра Баттерворта. Порядок фильтра будет определяться условиями (рис. 8 30, а). В общем случае значительно проще определить порядок и фильтра Баттерворта в области, заданной для НЧ-прототипа. Но, чтобы воспользоваться этой возможностью, мы должны преобразовать условия а) — г) к виду, отвечающему НЧ-прототипу. Информация, содержащаяся в условиях а) и б), определяет преобразование частоты при переходе от НЧ-прототипа к требуемому полосовому фильтру. Эти условия не нужны для определения порядка Условия в) и г) после преобразования принимают вид:

в) Максимальное затухание, допускаемое в полосе пропускания в пределах от до составляет 0,05 дБ.

г) Минимальное затухание, требуемое в полосе задерживания, равно 10 дБ для частот

Условия в) и г) иллюстрируются графиками на рис. 8.30, б. Это условие подразумевает, что значение должно быть выбрано с таким расчетом, чтобы удовлетворялись неравенства

После выполнения некоторых простейших арифметических операций мы найдем, что будет удовлетворять оба условия (8 166).

Рис. 8.31. Схемы реализации нормированной передаточной функции (8.167) (а) и требуемой передаточной функции (8.168) (6).

Следовательно, требуемая передаточная функция нормированного фильтра нижних частот определяется таким выражением:

При крад/с и ширине полосы по уровню 3 дБ, равной передаточная функция требуемого полосового фильтра будет определяться следующим выражением:

Чтобы реализовать требуемый фильтр в соответствии с (8 168), вначале реализуем НЧ-прототип (рис. 8 31, а). Чтобы получить схему, приведенную на рис. 8 31,6, в схеме рис. 8.31, а выполнено преобразование элементов. Обратите внимание на то, что фильтр нижних частот второго порядка

превращается в случае преобразования в полосовой фильтр четвертого порядка.

Амплитудно-частотные характеристики НЧ-прототипа с передаточной функцией (8.167) и полосового фильтра с требуемой передаточной функцией (8.168) показаны на рис. 8.32. Обратите внимание на то, что крутизна характеристики полосового фильтра на частотах 0 и 100 крад/с несколько больше, чем на частотах и

Рис. 8.32. Характеристики нормированного фильтра нижних частот Баттерворта второго порядка (а) и соответствующего полосового фильтра Баттерворта четвертого порядка (б).

Это положение типично для полосовых фильтров, рассчитанных с помощью (8.159). [Нужно вспомнить, что преобразование (8.159) дает характеристики фильтров, которые имеют геометрическую, а не арифметическую симметрию.] Следовательно, если заданные условия требуют арифметической симметрии относительно средней частоты тогда следует убедиться, что обеспечиваются заданные требования для частот