6.2. Свойства входных RC-функций полной проводимости

Основываясь не на (5.25), а на (5.27), можно показать, что входная функция полной проводимости RС-двухполюсника имеет следующую обобщенную форму:

Если положить

то (6.20) можно переписать в виде

где , а также — положительные и вещественные.

После рассмотрения выражений (6.20) — (6.22) для входной -функции полной проводимости можно утверждать следующее:

Свойство Все полюсы и нули лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости

Свойство Вычеты при конечных отрицательных вещественных полюсах вещественны и отрицательны. Вычет при полюсе положителен и веществен. Доказательство. Из (6.22) вычет при равен

Согласно (6.21), положителен и веществен.

Вычет при конечном отрицательном вещественном полюсе равен

Подставляя (6.22) в (6.24), получаем

Из (6.21) и (6.25) следует, что отрицателен и веществен.

Свойство не может иметь полюс при Кроме того,

Заметим, что может иметь полюс при и (или) нуль при

Свойство есть функция, монотонно нарастающая вдоль вещественной оси плоскости исключая точки полюсов

Доказательство. Дифференцируя (6.22), получаем

Из (6.21) и (6.27)

для всех , исключая полюсы

Рис. 6.3. Типичные зависимости

Некоторые типичные зависимости от а приведены на рис. 6.3.

Свойство Все полюсы и нули простые и лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости s чередуясь. Критической точкой, ближайшей к началу координат, должен быть нуль (он может находиться и в начале координат), а ближайшей к бесконечности — полюс (может быть полюс и при Число полюсов включая равно числу нулей (рис. 6.3).

Свойство Если не является полюсом то можно записать в виде

где нечетное число, а

В этом случае полиномы, стоящие в числителе и знаменателе, имеют одинаковую степень. С другой стороны, если есть полюс последнюю можно записать как

где — нечетное число, а

Выражение (6.31) означает, что степень полинома, стоящего в числителе, больше степени полинома, стоящего в знаменателе.

Свойство уменьшается с ростом Доказательство. Из (6.22)

Заметим, что имеет форму входной С-функции полного сопротивления (6.4). Следовательно, согласно свойству входной функции полного сопротивления RС-двухполюсника заключаем, что уменьшается с ростом

Свойство есть монотонно нарастающая функция Кроме того,

Доказательство. Из (6.22) получаем

Очевидно, — минимальное значение так как второй член правой части (6.35) положителен для всех .

Из (6.35) видно, что — монотонно нарастающая функция График зависимости от со приведен на рис. 6.4, где

Видно, что — наибольшая постоянная, которую можно выделить из таким образом, чтобы остаток был бы еще ПВ-функцией, обладающей

всеми свойствами входной RС-функции полной проводимости. Этот факт является основой для реализации входных RC-функций второй формой Кауэра.

Рис. 6.4. Типичная зависимость от .

Рис. 6.5. Схемная структура второй формы Фостера.

Схемная реализация (6.22) или, что эквивалентно, (6.20), (6.21), приведенная на рис. 6.5, называется второй формой Фостера.