8.2.3. Передаточная функция

Как и в случае фильтра Баттерворта передаточная функция фильтра Чебышева имеет одни только полюсы — числитель ее представляет собой постоянную величину и, следовательно, не содержит нулей при конечных значениях частоты. Полюсы фильтра Чебышева располагаются на эллипсе, а не на окружности, как это имеет место в случае фильтра Баттерворта.

Рис. 8.15 и.

Большая ось этого эллипса проходит по мнимой оси s-плоскости, тогда как малая ось — вдоль вещественной оси. Совершенно очевидно, что чем уже эллипс, тем ближе располагаются полюсы к мнимой оси и, следовательно, тем более сильное влияние будет оказывать каждый полюс, т. е. тем заметнее будут колебания частотной характеристики. Таким образом, заданная величина неравномерности передачи окажет сильное влияние на расположение полюсов результирующей

передаточной функции, причем чем больше неравномерность, тем уже будет выглядеть эллипс.

Чтобы выявить расположение полюсов передаточной функции фильтра Чебышева порядка, придется вначале выполнить некоторую аналитическую работу. Подставляя выражение (8.58) в формулу (8.67), получим следующее выражение функции модуля нормированного фильтра нижних частот Чебышева порядка

Определим следующим образом комплексную переменную:

где Обращая соотношение (8.76), имеем

Приравнивая друг другу вещественные и мнимые составляющие правой и левой частей выражения (8.77), получим

Подставляя выражение (8.76) в (8.75), найдем

Следовательно, полюсы являются корнями уравнения или

Корни уравнения (8.80) совпадают с корнями

Решение уравнения (8.81) эквивалентно решению

Приравнивание друг другу вещественных и мнимых составляющих правой и левой частей уравнения (8.82) дает

что приводит к следующим решениям:

где — положительное целое число. Следовательно, с учетом выражения (8.78) полюсы передаточной функции Чебышева порядка определяются таким выражением: , где

и . Используя тригонометрическое тождество из выражений (8.85) получаем

Анализ выражения (8.86) позволяет заключить, что все полюсы располагаются на эллипсе s-плоскости, у которого

Таким образом, если известны значения то можно определить полюсы нормированного фильтра нижних частот Чебышева. На рис. 8.16 изображен такой эллипс, у которого вертикальная и горизонтальная полуоси обозначены как и а соответственно, причем и а можно также выразить и в следующем виде:

Координаты полюсов на эллипсе можно геометрически связать с двумя баттервортовскими окружностями с радиусами а и Вертикальные координаты полюсов фильтра Чебышева порядка равны вертикальным координатам соответствующих полюсов фильтра Баттерворта порядка, расположенных на окружности большего круга (радиусом тогда как горизонтальные

Рис. 8 16. Графическое построение чебышевских полюсов. X чебышевские полюсы; баттервортовские полюсы на большей окружности; баттерворговскне полюсы на меньшей окружности.

координаты чебышевских полюсов совпадают с соответствующими координатами баттервортовских полюсов, расположенных на окружности меньшего круга (радиусом а). На рис. 8.16 показаны все необходимые линии построения, позволяющего найти координаты фильтра Чебышева. Если учесть связь между координатами баттервортовских и чебышевских полюсов, то фильтр Чебышева порядка будет иметь отрицательный вещественный полюс при если нечетное целое число.

Чтобы найти передаточную функцию нормированного фильтра нижних частот Чебышева по заданной функции квадрата модуля, определяемой (8.67), снова воспользуемся тремя следующими этапами:

Этап 0. Образуем

Этап 1. Находим полюсы Это можно выполнить либо графически, строя фигуру, аналогичную построенной на

рис. 8.16, для набора заданных значений или аналитически по выражению (8.85).

Этап 2. Для построения используются сомножители, связанные с полюсами, которые расположены в левой s-полуплоскости. Таким образом, передаточная функция определяется выражением

где при определяется выражением (8.85).

Пример 8.5. Найти передаточную функцию для фильтра Чебышева третьего порядка с неравномерностью передачи в полосе пропускания 1 дБ.

Решение. Поскольку дБ, выражение (8.71) дает

Из математических таблиц мы находим

Поскольку

Снова из математических таблиц находим

Используя выражение (8.85), имеем

Это означает, что полюсы имеют такие координаты:

Следовательно, требуемая передаточная функция определяется