7.3.2. Четырехполюсник без потерь с двусторонними нагрузками

В этом разделе рассматривается случай на рис. 7.22, в, который для удобства воспроизведен на рис. 7.29. Поскольку (7.99) и (7.100) не позволяют пр стым образом идентифицировать z-параметры или -параметрп четырехполюсника без потерь, мы примем совершенно иной подход.

Рис. 7.29. Схемная структура Дарлингтона.

Чтобы свести задачу реализации передаточной функции к реализации входной функции полного сопротивления рис. 7.29, нужно ввести два коэффициента — коэффициент передачи и коэффициент отражения. Коэффициент передачи определяется как отношение выходной мощности Рвых, выделяемой в к максимальной мощности поступающей от источника сигнала с внутренним сопротивлением Очевидно,

Следовательно, коэффициент передачи определяется выражением

где — передаточная функция по напряжению

Поскольку мощность, подводимая на от источника, должна быть меньше или равна максимальной мощности, поступающей от источника, имеем

Коэффициент отражения определяется просто как дополнение коэффициента передачи:

В случае синусоидального (в установившемся состоянии) сигнала мощность подаваемая на пару зажимов четырехполюсника без потерь, равна мощности подаваемой на нагрузку, причем

Приравнивая (7.143) и (7.149), получаем

Из рис. 7.29 имеем

Объединяя (7.150) и (7.151), получаем

Подставляя (7.152) в (7.145), а результирующее выражение — в (7.148), получаем

Записав в виде

получим

Выражение (7.156) подразумевает, что

Благодаря введению коэффициента передачи по (7145) и коэффициента отражения по (7.153) мы свели задачу реализации

передаточной функции по напряжению H(s) (7.146) к реализации входной функции полного сопротивления по (7.158), принимая во внимание расположение нулей передачи Заметим здесь, что содержит только один резистор , а остальными элементами являются конденсаторы и катушки индуктивности, как показано на рис. 7.29.

На основе изложенного можем теперь рассмотреть поэтапную процедуру реализации передаточных функций в форме

в виде схемы Дарлингтона на рис. 7.29, где полином Гурвица или модифицированный полином Гурвица степени, Для упрощения алгебраических преобразований положим Ом.

Этап 1. Находим . Из (7.153) имеем

Определение — самый важный этап этой процедуры реализации. Начнем с того, что (7.160) может не иметь решения. Допустим

представляют соответственно левую и правую стороны (7.160). Ясно, что от полюсов и нулей требуется, чтобы они обладали квадрантной симметрией. На основе (7.162) можно заключить, что полюсы будут также обладать такой симметрией, но это не обязательно относится к нулям. Это имеет место, поскольку числитель является только четным полиномом, а не обязательно полиномом с зеркальной структурой — такой, при которой его можно записать в виде . Если нули не обладают квадрантной симметрией, мы не сумеем найти из (7.160) и описываемая нами процедура не приведет к схемной реализации для

Предположим теперь, что нули обладают квадрантной симметрией. В этом случае имеется больше чем один удовлетворяющий (7.160). Выберем в качестве решения (7.160)

минимально-фазовую функцию . В ином случае нам понадобились бы для реализации результирующей входной функции полного сопротивления отрицательные индуктивности и (или) емкости.

Этап 2. Находим После того как определен, (7.158) дает

Из (7.163) имеем две возможности выбора Поскольку одна из них противоположна другой, можем ожидать, что одна даст в качестве оконечного нагрузочного резистора , а другая — Если для имеется желательное значение (например, в общей схеме равно входному сопротивлению следующего каскада), требуемый результат получится только при одном варианте выбора Если Ом (или если значение несущественно), тогда одинаково справедлив любой способ выбора . Чтобы определить значение оконечного резистора при данном варианте выбора имеем

когда в и

когда в

где равно либо либо . Это имеет место по той причине, что, когда в передаточная функция обеспечивает пропускание только нижних частот и все нули передачи лежат при Поэтому используем первую форму Кауэра. Это означает, что будет содержать последовательные катушки индуктивности и параллельные конденсаторы, а оконечной нагрузкой будет При последовательные индуктивности дают короткое замыкание, а параллельные конденсаторы — холостой ход; следовательно, содержит только величину оконечного сопротивления. Это иллюстрируется рис. 7.30, а. Аналогично, когда передаточная функция обеспечивает пропускание только верхних частот и все нули передачи лежат при . Поэтому используется вторая форма Кауэра. Она дает последовательные конденсаторы и параллельные катушки индуктивности, а оконечной нагрузкой по-прежнему является При последовательные емкости дают короткое замыкание, а параллельные индуктивности —

холостой ход. Следовательно, Наконец, для случая в (7.159) передаточная функция обеспечивает пропускание сигнала в полосе частот. Имеется предельный метод для определения по заданному Однако процесс его осуществления сложен и требует большого количества вычислений. В данном случае фактически выгодней производить реализацию для любой из двух возможных и находить значение

Рис. 7.30. Определение значения сопротивления нагрузки а) в (7 159).

Если результирующая схема оптимальна; в обратном случае оптимальную схему даст второй вариант выбора из (7.163).

Этап 3. Реализация . Чтобы реализовать по (7.159), мы должны надлежащим способом реализовать дабы удовлетворить требованиям к нулям передачи. Мы рассмотрим три возможных случая (7.159), как это делалось в разд. 7.1.

Случай 1. Если используем первую форму Кауэра.

Случай 2. Если используем вторую форму Кауэра.

Случай 3. Если мы можем сперва использовать первую форму Кауэра для выделения динамических элементов (конденсаторов и катушек индуктивности), а остаточную функцию реализовать второй формой Кауэра, или же сначала использовать вторую форму Кауэра для выделения динамических элементов, а остаточную функцию реализовать первой формой Кауэра.

Здесь следует отметить, что, если мы используем для необходимого разложения в непрерывную дробь процедуру деления и инверсии, при каждом шаге деления будем находить два члена — самой высокой и самой низкой степени. Это одновременное исключение двух членов будет продолжаться вплоть до выделения последнего динамического элемента.

Пример 7.18. Реализовать

схемной структурой Дарлингтона по рис. 7 29 при Ом и Ом.

Решение. Поскольку передаточная функция (7.166) тииа фильтра нижних частот (все нули передачи лежат при результирующая схема Дарлингтона будет иметь форму, как на рис. 7.31, а.

Рис. 7.31. Схема для определения значения в (7 166).

При схема на рис. 7.31, а сводится к схеме на рис. Следовательно, имеем

Сравнивая (7.167) с (7.166) при получаем

Первый этап процедуры реализации — определение Из (7.160) имеем

Поскольку иули правой части выражения (7.169) не обладают квадрантной симметрией, мы не можем получить из (7.169); поэтому процедура, описанная в данном разделе, не может привести к схемной реализации по (7.166).

Пример 7.19. Реализовать

четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде активного сопротивления .

Решение. Как в примере 7.18, при имеем

Для случая а), когда Ом, (7.171) дает

Из (7.160) имеем

На основе может быть любым из следующих:

Заметим, что из восьми возможных решений (7.173), приведенных в (7.174), только является минимально-фазовым решением. Пусть решение (7.173) будет

Тогда две возможные входные функции полного сопротивления, задаваемые (7.163), суть

Поскольку Ом, как так и дадут схемные реализации с надлежащим оконечным нагрузочным сопротивлением. Возьмем сначала Все нули передачи лежат при поэтому реализуем первой формой Кауэра. Это подразумевает разложение в

непрерывную дробь при

или (7.177)

Схемная реализация основывающаяся на реализации первой формой Кауэра, приведена на рис. 7.32, а.

Рис. 7.32. Две схемы реализации по Дарлингтону функции по (7.170)

Далее рассмотрим . Поскольку обратна получаем при Ом и Ом.

Схемная реализация по (7.170) через по (7.178) показана на

Если желательное напряжение нагрузки Ом, то (7.171) приводит к значению

В этом случае (7.160) переходит в

Минимально-фазовое решение (7 180) задается соотношением

Из (7.163) получаем

Поскольку Ом, только одна из двух входных функций полного сопротивления (7.182) будет правильной.

Рис. 7.33. Схема реализации по (7.170)

Поскольку же все нули передачи лежат при мы знаем, что надлежащая входная функция полного сопротивления при равна При находим

Следовательно, правильно выбрать

Схемная реализация схемой Дарлингтона при Ом и Ом через (7.184) показана на рис. 7.33. Анализ схемы на рис. 7.33 дает

Пример 7 20. Реализовать

схемой Дарлингтона при .

Решение. Чтобы упростить вычисления, определим сначала значение в (7.185). Поскольку передаточная функция типа фильтра верхних частот (все нули передачи лежат при результирующая схема Дарлингтона будет иметь форму, показанную на рис. 7.34, а.

Рис. 7 34. Схема для определения значения в (7.185).

При схема на рис. 7.31, а сводится к схеме рис. 7.34, б. Следовательно, при

Из (7.160) имеем

Следовательно,

Две возможные функции даются выражением (7.163):

Поскольку все нули передачи лежат при имеем

Из (7.188) имеем

Следовательно, чтобы сопротивление нагрузки равнялось Ом, выбираем

Чтобы получить нули передачи при реализуем второй формой Кауэра:

Схемная реализация по (7.185) через по (7.192) показана на рис. 7.35.

Рис. 7.35. Схема Дарлингтона, реализующая по (7.185).