9.2. Чувствительности функций цепи

Поскольку функции цепи представляют собой отношения полиномов, результаты, полученные в разд. 9.1, могут быть применены и к числителю и к знаменателю функции цепи. Сделав это замечание, мы больше не будем тратить времени на обсуждение таких тривиальных операций, как распространение результатов разд. 9.1 на случай функций цепи.

В этом разделе обозначим через функцию, которая представляет для нас интерес; причем может быть функцией

входного полного сопротивления или проводимости двухполюсника или же передаточной функцией по напряжению. Пусть представляет собой схемный параметр, подвергаемый небольшим изменениям. Функция чувствительности функции цепи к дифференциальным изменениям параметра определяется в следующем виде:

Предположим, что все изменения малы. Тогда из выражения равно процентному изменению деленному на процентное изменение Например, если равно 0,5, то 1%-ное изменение параметра вызовет -ное изменение значения Следовательно, с точки зрения разработчика схемы очень важно, чтобы величина была бы возможно меньшей. В идеальном случае значение должно было бы равняться нулю для любого схемного параметра Опираясь на выражение (9.73), можно доказать для функций чувствительности следующие тождества:

где и — постоянные.

Поскольку функции цепи являются рациональными функциями, можно записать в следующем виде:

где являются функциями параметра каким, например, является в примере 9.2. Логарифмируя выражение (9.75), получаем

Дифференцируя левую и правую стороны выражения (9.76) по и затем умножая обе части на получим

Из уравнения (9.77) следует, что вклад чувствительности нулей и полюсов в общую чувствительность функции цепи наиболее значителен в окрестностях этих полюсов и нулей.

9.2.1. Выводы

Рассмотрим активную RLC-схему, содержащую, возможно, все четыре управляемых источника. Пусть является представляющей интерес функцией цепи. Тогда будет функцией каждого схемного элемента и ее, следовательно, можно записать в таком виде:

где символы имеют такие значения, что и в подразд. 9.1.2. Если мы теперь повысим уровень полных сопротивлений в а раз, выражение (9.78) примет следующий вид:

где

если — функция входного сопротивления

двухполюсника

если — функция входной проводимости двухполюсника

если — передаточная функция по напряжению.

Дифференцируя (9.79) по а, получим

Если взять разделить обе части выражения (9.81) на и использовать соотношение (9.73), то получим

где

если — функция входного сопротивления двухполюсника

если — функция входной проводимости двухполюсника

если — передаточная функция по напряжению.

Для активного RС-фильтра с ИНУН и операционными усилителями выражение (9.82) сводится к

Если к тому же представляет собой передаточную функцию по напряжению, то имеем

Из уравнения (9.85) следует, что если все сопротивления и емкости изменяются по величине на один и тот же процент от их абсолютного значения, но эти изменения происходят с противоположными знаками, то величина остается без изменения. По этой причине многие активные RС-фильтры конструируются из резистивных и емкостных материалов, которые характеризуются одними и теми же температурными коэффициентами, но имеющими противоположные знаки. Благодаря этому обеспечивается такое положение, что колебания температуры не приведут к изменениям работы фильтра.

Теперь рассмотрим эффект частотного преобразования с помощью умножения параметров схемных элементов на коэффициент а. В соответствии с подразд. 8.4.1 при этом изменяются параметры катушек индуктивности и конденсаторов. Следовательно,

Дифференцируя (9.86) по а, получаем

если взять и разделить обе части уравнения (9.87) на то получаем

9.3. Чувствительности фильтра второго порядка

Чтобы завершить эту главу, рассмотрим кратко случай фильтра второго порядка, где полином знаменателя передаточной функции определяется следующим выражением:

называется частотой полюса, а

называется добротностью пары полюсов звена фильтра второго порядка. В случае полосового фильтра является средней частотой, где функция передачи достигает максимума, обратно пропорциональна ширине полосы фильтра. В звеньях фильтра второго порядка и особенно в активных фильтрах — чувствительность и — чувствительность, определенные как

соответственно, где представляет собой схемный параметр, который подвергается небольшим изменениям. Эти чувствительности являются предметом большего внимания, чем даже сама передаточная функция. Это объясняется тем, что совокупно описывают почти все важнейшие качественные свойства Фильтра второго порядка. Обратите внимание на то, что значения выражения (9.92) и (9.93) вычисляются при номинальных качениях параметров.

Пример 9.5. Для схемы рис. найдите чувствительности и к изменению

Решение Передаточная функция схемы на рис. 9.4 определяется следующий выражением:

Идентифицируя и выделяя соответствующие члены в выражениях (9.89) и (9 94), найдем

Воспользовавшись выражением (9 93), получим

Обратите внимание на то, что из (9 98а) и (9.986) вытекает, что добротность пары полюсов в схеме на рис. 9 4 не зависит от емкостей конденсаторов

Из (9.89) следует, что координаты полюсов звена фильтра второго порядка определяются следующим выражением:

Если то полюсы будут комплексно-сопряженными, а из выражения (9.99) следует, что при больших полюсы будут приближаться к мнимой оси. Это наблюдение имеет важные следствия практического порядка. В пассивных схемах увеличение значений требует применения элементов лучшего качества — катушки индуктивности и конденсаторы должны быть лучшего качества. В случае же активных схем увеличение значений требует применения большего числа активных элементов в схемной реализации с тем, чтобы результирующая схема не оказалась слишком чувствительной.

Вспомним, что звенья второго порядка фильтра Баттерворта порядка описываются [см. (8.41] следующим выражением

Идентифицируя и выделяя соответствующие члены в (9.100) и (9.89), получим

где является добротностью пары полюсов звена второго порядка. Для большей конкретности рассмотрим первое звено второго порядка, где

Чтобы получить характеристику фильтра с крутой переходной областью, величина выбирается большой. Следовательно, в соответствии с выражением (9.102) величина велика. Таким образом, для реализации первого звена второго порядка фильтра Баттерворта высокого порядка требуются высококачественные элементы. Те же соображения применимы также и к фильтрам Чебышева и Бесселя.

Более подробно чувствительности будут обсуждаться в гл. 10.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)