8.1.1. Основные свойства

Анализ выражения (8.14) и рис. 8.3 показывает, что норми рованный фильтр нижних частот Баттерворта обладает следующими основными свойствами;

Свойство 1 фильтра Баттерворта. При любом справедливы такие соотношения:

Отсюда вытекает, что усиление на постоянном токе (величина коэффициента передачи при составляет 1, а частота среза по уровню 3 дБ равна

Свойство 2 фильтра Баттерворта. Функции модуля передачи фильтров Баттерворта монотонно убывают при со 0. Следовательно, имеет максимальное значение при

Свойство 3 фильтра Баттерворта. Первые производные амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот Баттерворта порядка равны нулю при По этой причине фильтры Баттерворта также называются фильтрами с максимально плоскими (гладкими) амплитудно-частотными характеристиками.

Рис. 8.6. Крутизна амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта порядка на высоких частотах.

Свойство 4 фильтра Баттерворта. Крутизна амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттерворта порядка на высоких частотах составляет 20n дБ/декада (рис. 8.6).

Очевидность свойства 1 следует из выражения (8.14). Чтобы показать справедливость свойства 2, продифференцируем выражение (8.14) и получим

Обратим внимание на то, что

Подставляя выражения (8.14) и (8.18) в выражение (8.19), имеем

Поскольку эта производная отрицательная для всех является убывающей функцией от при . Справедливость свойства 3 может быть показана путем разложения относительно в биномиальный ряд или ряд Тейлора 1)

Из выражения (8.21) получаем

для . И наконец, для доказательства справедливости свойства 4 мы можем воспользоваться, исходя из условия со 1, аппроксимацией

Если перейти к децибелам, то выражение (8.23) приобретает такой вид: