12. Расчет цифровых фильтров

Подобно аналоговым фильтрам расчет цифровых фильтров включает в себя процесс нахождения подходящей передаточной функции, которая должным образом удовлетворяет предъявленным требованиям. Характеристики цифровых фильтров часто задаются в частотной области. Частотная характеристика цифрового фильтра, определяемая выражением (11.92), является непрерывной функцией переменной 0 с периодом

где — целое число. Период обычно выбирается в пределах от до . Это означает, что если определена для 0 от до , то она определена и для всех 0. Записывая в экспоненциальной форме, получаем

где называется амплитудно-частотной характеристикой, а — фазовым углом (запаздывания) фильтра, где

Поскольку амплитудно-частотные характеристики представляют собой четные функции

а фазовые — нечетные

то достаточно определить частотную характеристику цифрового фильтра для 0 в пределах от до вдоль верхней половины единичной окружности в -плоскости (рис. 12.1). Для иллюстрации этой периодичности на рис. 12-2 приведены амплитудно-частотные характеристики идеальных частотно-избирательных фильтров нижних и верхних частот, полосовых, заграждающих и всепропускающих, а на рис. 12.3 - фазовые характеристики фильтров с линейной фазой.

При расчете фильтров удобнее использовать квадрат амплитудной функции и групповое время, чем амплитудно-частотную и фазовую характеристики.

Рис. 12 1. Частотная характеристика цифрового фильтра определяется вдоль верхней половины единичной окружности.

Квадрат амплитудной функции задается следующим соотношением:

Из уравнения (12.4) следует, что если

— нуль (полюс} функции , то

также является ее нулем (полюсом). Поскольку комплексные нули (полюсы) должны встречаться сопряженными парами, то можно утверждать, что

- нули (полюсы) функции Из соотношений (12.5) можно сделать следующие заключения:

1. Если представляет собой вещественный нуль (полюс) функции то также ее вещественный нуль (полюс). В частном случае при нуль (полюс) обладает четной кратностью.

(кликните для просмотра скана)

2. Если является нулем (полюсом) функции то также ее нуль (полюс). Кроме того, и 1 представляют собой нули (полюсы) функции четной кратности.

3. Если при или — нуль (полюс) функции то также ее нули (полюсы).

Рис. 12.4. Свойства полюсов и нулей функции

Эти свойства полюсов и нулей квадрата амплитудной функции иллюстрируются на рис. 12.4.

Групповое время характеризует задержку отклика Фильтра и определяется следующим образом:

Наиболее желательная характеристика группового времени представляет собой приблизительно постоянную величину для частот в полосе пропускания фильтра.

В задачу проектирования фильтров входит нахождение частотной характеристики или передаточной функции, параметры которых удовлетворяют предъявленным к фильтру техническим требованиям. Следовательно, в своей основе расчет фильтра представляет собой процесс нахождения математической аппроксимации. Для математической аппроксимации используется набор базовых функций, которые позволяют систематизировать методику расчета. Решением задачи аппроксимации является одна или несколько функций, принадлежащих этому семейству базовых функций. В случае аналоговых фильтров, рассмотренных в гл. 8, семейства функций для фильтров Баттерворта, Чебышева, инверсных Чебышева, эллиптических и Бесселя являются рациональными функциями комплексной частоты Эти семейства выбраны вследствие того, что пассивные и активные схемы, на которых строится аналоговый фильтр, могут реализовывать передаточную функцию только в виде рациональной функции. Для цифровых фильтров реализуемые функции представляют собой и полиномы, и рациональные функции переменной Цифровой фильтр, который описывается передаточной функцией в виде полинома

называется цифровым фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр). С другой стороны, цифровой фильтр, который задается передаточной функцией в виде рациональной функции

где — отличная от постоянной величина, называется цифровым фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр). Для КИХ-фильтров отсутствуют проблемы, связанные с их устойчивостью и физической реализуемостью, поскольку все КИХ-фильтры устойчивы и физически реализуемы

Цифровые БИХ-фильтры устойчивы, если все полюсы функции заданной выражением (12 8), расположены внутри единичного круга в -плоскости и физически реализуемы, если — первый ненулевой коэффициент знаменателя (т. е. ), а в числителе тогда коэффициенты равны Вследствие того что рассматриваются исключительно физически реализуемые фильтры, обычно полагают Следовательно, общая передаточная функция цифрового БИХ-фильтра задается в виде

В этой главе рассматриваются методы расчета цифровых БИХ- и КИХ-фильтров.