8.1. Аппроксимация по Баттерворту

Одной из часто используемых аппроксимаций нормированного идеализированного фильтра нижних частот является ряд функций Баттерворта. Функция Баттерворта -го порядка определяется в следующем виде:

Для любого значения функция Баттерворта характеризуется определенными ранее и сформулированными в теореме 8.1 свойствами квадрата модуля функции передачи: и числитель и знаменатель этой функции являются полиномами от с вещественными коэффициентами, причем для всех со. Следовательно, функция Баттерворта может представлять амплитудно-частотную характеристику физически реализуемой передаточной функции. Нормированный фильтр нижних частот Баттерворта -го порядка характеризуется следующим выражением:

График выражения (8.14) приведен на рис. 8.3. Обратите внимание на то, что при амплитудно-частотная характеристика Баттерворта приближается к идеализированной, которая была приведена на рис. 8.2, а. По мере возрастания порядка

(кликните для просмотра скана)

фильтра Баттерворта коэффициент передачи в полосе пропускания все в большей степени приближается к единице, переходная область все в большей степени сужается, а в полосе задерживания функция передачи все ближе и ближе подходит к нулю. Таким образом, является параметром, выбор которого позволяет удовлетворить заданный набор требований к фильтру в полосе пропускания и полосе задерживания. На рис. 8.4 приведен еще один график выражения (8.14), на котором по вертикальной шкале откладываются децибелы.

Рис. 8.5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта.

При построении этого графика использовалось соотношение

Фазочастотная характеристика

нормированного фильтра нижних частот Баттерворта порядка показана на рис. 8.5. Обратите внимание на то, что при очень малых значениях со фазовая характеристика изменяется почти линейно, особенно при малых значениях