4. Положительные вещественные функции и пассивность

Пусть цепь — двухполюсник, не содержащий внутренних независимых источников. Положим, что все начальные условия — нулевые, тогда можно характеризовать либо уравнением либо уравнением где — соответственно преобразования Лапласа для втекающего тока и напряжения на двухполюснике. Их называют соответственно входными функциями полной проводимости и сопротивления. В основе большинства способов синтеза цепей из элементов, имеющих только положительные значения параметров (резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы), лежит концепция положительных вещественных функций. Бруне [1] доказал, что любая входная функция двухполюсника, содержащего только пассивные элементы, положительна и вещественна. Напротив, любая положительная вещественная функция может быть реализована как входная функция цепи, содержащей только пассивные элементы, такие, как положительные RLC-элементы, идеальные трансформаторы и обмотки связи, обладающие симметричными и положительноопределенными матрицами полных сопротивлений.

Функция называется положительной вещественной (ПВ), если она удовлетворяет следующим двум условиям:

вещественна при вещественном

всегда, когда

Выполнение первого условия легко проверяется, так как оно просто требует, чтобы все коэффициенты были вещественными. Второе условие означает, что комплексная функция преобразует правую половину и мнимую ось плоскости s в правую половину и мнимую ось плоскости F (рис. 4.1).

Получив эти основные сведения, рассмотрим теперь основы синтеза пассивных схем.

Теорема 4.1. Пусть цепь — двухполюсник, содержащий только пассивные элементы. Тогда его входные функции полной

проводимости и сопротивления — положительные вещественные.

Доказательство. Чтобы упростить доказательство, предположим, что содержит только пассивные резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. При необходимости нетрудно распространить это упрощенное доказательство на общий случай.

Рис. 4.1. Свойства ПВ-функций.

Кроме того, мы докажем теорему только для функции полного сопротивления. Для случая полной проводимости ее при желании можно будет доказать по принципу дуальности.

Рис. 4.2. Двухполюсник, содержащий пассивных RLC-элементов.

Рассмотрим схему рис. 4.2, где двухполюсник содержит только пассивные резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Теорема Теллегена утверждает, что

где — величина, комплексно-сопряженная с и предполагается, что г) содержит элементов, от 2 до Очевидно, (4.1) можно записать как

где обозначают соответственно суммы всех сопротивлений, емкостей и индуктивностей. Пусть вход, ное сопротивление тогда

При этом, если ветвь содержит сопротивление в омах, то

Если ветвь содержит емкость (в фарадах), то

Наконец, если ветвь содержит индуктивность (в генри), то

Поскольку содержит только пассивные элементы, имеем

Подставив (4.3) в (4.2), получим

Положим Тогда из (4.5)

Следовательно, имеем

Из (4 7) можем вывести, что если , то повсюду, где .

Из (4.6), если то вещественно. Следовательно, мы можем заключить также, что вещественно, когда s веществен. Таким образом, положительно и вещественно.

Истинность теоремы, обратной 4.1, была доказана Бруне. Здесь мы только сформулируем результат.

Теорема 4.2. Пусть положительная вещественная функция. Тогда можно реализовать как входную функцию полной проводимости или сопротивления для двухполюсника, содержащего только пассивные элементы.

В свете обеих предшествующих теорем можно заключить:

Следствие 4.3. F(s) является ПВ-функцией тогда и только тогда, когда таковой является