8.1.2 Передаточная функция

Метод получения минимально-фазовой функции для заданной функции модуля был изложен в гл. 3. Ради удобства приведем здесь эту процедуру еще раз.

Этап 0. По заданной функции модуля фильтра Баттерворта порядка построим

Этап 1. Представить в виде произведения полиномов порядков. Из (8.25) следует, что не имеет конечных нулей, а полюсы обладают квадратной симметрией. Таким образом, числитель равен 1.

Этап 2. Воспользуйтесь для построения теми сомножителями, которые соответствуют полюсам, лежащим в левой s-полуплоскости. Произведение этих сомножителей образует знаменатель

Пример 8.1. Найдите передаточную функцию для нормированного фильтра нижних частот Баттерворта 3-го порядка.

Решение. Следуем этапам процедуры построения, изложенным ранее для

Этап 0. Построить

Этап 1, Представить в виде произведения

В процессе представления в виде произведения окажется полезным воспользоваться особенностями расположения полюсов

Этап 2. Воспользуйтесь для построения сомножителями , соответствующими полюсами левой s-полуплоскости,

Перемножьте эти сомножители между собой, чтобы получить выражение

которое является передаточной функцией для нормированного фильтра нижних частот Баттерворта 3-го порядка.

В основе этого процесса лежит представление в виде произведения. Обратите внимание на то, что полюсы являются решениями уравнения

Рассмотрим сначала случай, когда значение четно. Тогда уравнение (8.28) сводится к виду

(кликните для просмотра скана)

где — целое число. Следовательно, полюсами s функции являются

Положения этих полюсов показаны на рис. 8.7 для случаев соответственно. Обратите внимание на то, что полюсы занимают те же позиции, что и , где

а — целое число. Поскольку отсчет угла начинается с вещественной оси и ведется против часовой стрелки, маркировка полюсов начинается с первого квадранта или с правой s-полуплоскости (рис. 8.8).

Рис. 8.8 Иллюстрация направлений последовательного изменения и

Однако нас прежде всего интересуют полюсы, расположенные в левой s-полуплоскости. С целью выявления одних только полюсов, лежащих в левой s-полуплоскости, введем обозначение

Если теперь подставим в то найдем, что измерение угла начинается с положительного направления мнимой оси s-плоскости и ведется, как показано на рис. 8.8, против часовой стрелки. Ввиду этого последовательное изменение вначале выявляет полюсов, расположенных в левой s-полуплоскости. При выражении через 0 полюсы

из левой s-полуплоскости определяются следующим выражением:

а Обратите внимание на то, что полюсы расположенные в правой s-полуплоскости, определяются выражением

где 0 определяется выражением (8.35), а . Аналогично можно показать, что полюсы расположенные в левой s-полуплоскости, также определяются выражениями (8.34) и (8.35), где — нечетное число в выражении (8.28). Следовательно,

Обратите внимание на то, что

Следовательно, полюсы расположены на окружности единичного круга. Если — вещественный полюс, то

С учетом (8.37 д) выражение (8.39) может иметь место лишь тогда, когда — нечетное число. С другой стороны, если s — комплексный полюс, то (величина, комплексно-сопряженная с ) также является комплексным полюсом, и произведение будет равно

С учетом (8.39) и (8.40) можно записать выражение (8.37 а) в виде

а задается выражением (8.37 д). Так, например, передаточная функция нормированного фильтра нижних частот Баттерворта 2-го порядка определяется следующим выражением:

а передаточная функция 3-го порядка выражением

С помощью выражения (8.38), согласно которому модули полюсов Баттерворта равняются единице, и выражения (8.37 д), согласно которому фазовые углы полюсов распределены на плоскости с постоянным шагом, можно определить графически положения полюсов нормированного фильтра нижних частот Баттерворта порядка следующим образом:

1. Построить на s-плоскости единичный круг.

Пусть Отсчитывая углы против часовой стрелки от положительного направления мнимой оси, провести радиальные линии под углами

Точки пересечения этих радиальных линий с окружностью единичного круга дают положения полюсов См., например, рис. 8.7, где это выполнено для случаев Если — нечетное число, то точка является полюсом

Когда шкала частоты фильтра нижних частот выбирается с таким расчетом, что его частота среза составляет а а не 1 рад/с, полюсы перемещаются вдоль радиальных линий до соответствующих точек на окружности радиусом Таким образом, нормирование частоты, которое будет обсуждаться позже, не изменяет характера диаграммы расположения полюсов и нулей, если не считать изменения ее масштаба.